代数例

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 = \frac{7}{12}$

ステップ 1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $\frac{7}{12}$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 - \frac{7}{12} = 0$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 - \frac{7}{12}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = 0$

ステップ 1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{12 - 7}{12} = 0$

ステップ 1.2.3

$12$ から $7$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, x, 12, 1$

ステップ 2.2

$x^{2}, x, 12, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $1, 1, 12, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $x^{2}, x^{1}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.5

$12$ の素因数は $2 \cdot 2 \cdot 3$ です。

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ステップ 2.5.1

$12$ には $2$ と $6$ の因数があります。

$2 \cdot 6$

ステップ 2.5.2

$6$ には $2$ と $3$ の因数があります。

$2 \cdot 2 \cdot 3$

ステップ 2.6

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.7

$1, 1, 12, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2 \cdot 2 \cdot 3$

ステップ 2.8

$2 \cdot 2 \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 2.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \cdot 3$

ステップ 2.8.2

$4$ に $3$ をかけます。

$12$

ステップ 2.9

$x^{2}$ の因数は $x \cdot x$ です。これは $x$ を $2$ 倍したものです。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ は $2$ 回発生します。

ステップ 2.10

$x^{1}$ の因数は $x$ そのものです。

$x^{1} = x$

$x$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.11

$x^{2}, x^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x \cdot x$

ステップ 2.12

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2}$

ステップ 2.13

$x^{2}, x, 12, 1$ の最小公倍数は数値部分 $12$ に変数部分を掛けたものです。

$12 x^{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$ の各項に $12 x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$ の各項に $12 x^{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$12 \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.2

$12$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.3.2

式を書き換えます。

$12 + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$12 + 12 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.5

$12$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$12 + \frac{12}{x} x^{2} + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$12 + \frac{12}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$12 + \frac{12}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.6.3

式を書き換えます。

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.7

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.7.1

$12$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 (x^{2})) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.7.2

共通因数を約分します。

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.2.1.7.3

式を書き換えます。

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0 (12 x^{2})$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0 (12 x^{2})$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1

$12$ に $0$ をかけます。

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 3.3.1.2

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2

$a = 5$ 、 $b = 12$ 、および $c = 12$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 12)}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 5 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.2

$- 4 \cdot 5 \cdot 12$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 20 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.2.2

$- 20$ に $12$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 240}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.3

$144$ から $240$ を引きます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 96}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.4

$- 96$ を $- 1 (96)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 96}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.5

$\sqrt{- 1 (96)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{96}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{96}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{96}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.7

$96$ を $4^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.1.7.1

$16$ を $96$ で因数分解します。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (4 \sqrt{6})}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{10}$

ステップ 4.3.3

$\frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{10}$ を簡約します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{6}}{5}$

ステップ 4.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{6 - 2 i \sqrt{6}}{5}, - \frac{6 + 2 i \sqrt{6}}{5}$

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{6}}{5}$

代数 例

代数例