代数例

$\sqrt{x^{2} - 4} \leq 3 - x$

ステップ 1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} - 4}}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

ステップ 2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 4}$ を ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - 4)}^{1} \leq {(3 - x)}^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} - 4 \leq {(3 - x)}^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

${(3 - x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

${(3 - x)}^{2}$ を $(3 - x) (3 - x)$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 \leq (3 - x) (3 - x)$

ステップ 2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 - x) (3 - x)$ を展開します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 \leq 3 (3 - x) - x (3 - x)$

ステップ 2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)$

ステップ 2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

ステップ 2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$x^{2} - 4 \leq 9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

ステップ 2.3.1.3.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)$

ステップ 2.3.1.3.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - x (- x)$

ステップ 2.3.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

ステップ 2.3.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

ステップ 2.3.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

ステップ 2.3.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}$

ステップ 2.3.1.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

ステップ 2.3.1.3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$x^{2} - 4 \leq 9 - 6 x + x^{2}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$9 - 6 x + x^{2} \geq x^{2} - 4$

ステップ 3.2

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

不等式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$9 - 6 x + x^{2} - x^{2} \geq - 4$

ステップ 3.2.2

$9 - 6 x + x^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$9 - 6 x + 0 \geq - 4$

ステップ 3.2.2.2

$9 - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$9 - 6 x \geq - 4$

ステップ 3.3

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.1

不等式の両辺から $9$ を引きます。

$- 6 x \geq - 4 - 9$

ステップ 3.3.2

$- 4$ から $9$ を引きます。

$- 6 x \geq - 13$

ステップ 3.4

$- 6 x \geq - 13$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- 6 x \geq - 13$ の各項を $- 6$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

ステップ 3.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 13}{- 6}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x \leq \frac{13}{6}$

ステップ 4

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 3 + x$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2.2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.2.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.2.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.2.4

最終解は $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 4.2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 4.2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 4.2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

ステップ 4.2.6.1.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.2.6.2

区間 $- 2 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

区間 $- 2 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 4.2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

ステップ 4.2.6.2.3

左辺 $- 4$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.2.6.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.2.6.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 4.2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

ステップ 4.2.6.3.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.2.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 4.2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 2$ または $x \geq 2$

ステップ 4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < \frac{13}{6}$

$x > \frac{13}{6}$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 4} \leq 3 - (- 4)$

ステップ 6.1.3

左辺 $3.46410161$ は右辺 $7$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.2

区間 $- 2 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- 2 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4} \leq 3 - (0)$

ステップ 6.2.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.3

区間 $2 < x < \frac{13}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

区間 $2 < x < \frac{13}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2.08$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $2.08$ で置き換えます。

$\sqrt{{(2.08)}^{2} - 4} \leq 3 - (2.08)$

ステップ 6.3.3

左辺 $0.57131427$ は右辺 $0.92$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.4

区間 $x > \frac{13}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

区間 $x > \frac{13}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\sqrt{{(5)}^{2} - 4} \leq 3 - (5)$

ステップ 6.4.3

左辺 $4.58257569$ は右辺 $- 2$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$2 < x < \frac{13}{6}$ 真

$x > \frac{13}{6}$ 偽

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$2 < x < \frac{13}{6}$ 真

$x > \frac{13}{6}$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 2$ または $2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - 2 or 2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

区間記号：

$(- \infty, - 2] \cup [2, \frac{13}{6}]$

ステップ 9

代数 例

代数例