代数例

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1$

ステップ 1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 2

$x + \frac{1}{x} \geq 2$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$x + \frac{1}{x} \geq 2$ の各項に $x$ を掛けます。

$x \cdot x + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

ステップ 2.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

ステップ 2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

ステップ 3

不等式を解きます。

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ステップ 3.1

不等式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x^{2} + 1 - 2 x \geq 0$

ステップ 3.2

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 1 - 2 x = 0$

ステップ 3.3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.3.1

項を並べ替えます。

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

ステップ 3.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

ステップ 3.3.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 3.3.4

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 3.3.5

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4

$x + \frac{1}{x} - 2$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$(- 2) + \frac{1}{- 2} \geq 2$

ステップ 6.1.3

左辺 $- 2.5$ は右辺 $2$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$(0.5) + \frac{1}{0.5} \geq 2$

ステップ 6.2.3

左辺 $2.5$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$(4) + \frac{1}{4} \geq 2$

ステップ 6.3.3

左辺 $4.25$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 真

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 真

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x \leq 1$ または $x \geq 1$

ステップ 8

区間をまとめます。

$x > 0$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x > 0$

区間記号：

$(0, \infty)$

ステップ 10

代数 例

代数例