代数例

$\log_{5} (x^{2} - 4) - \log_{5} (x + 4) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{5} (\frac{x^{2} - 4}{x + 4}) = 1$

ステップ 1.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\log_{5} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{x + 4}) = 1$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\log_{5} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 4}) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{5} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 4}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{1} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 4}$

ステップ 3

分数を削除するためにたすき掛けします。

$(x + 2) (x - 2) = 5 (x + 4)$

ステップ 4

$5 (x + 4)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x - 2) = 5 x + 5 \cdot 4$

ステップ 4.2

$5$ に $4$ をかけます。

$(x + 2) (x - 2) = 5 x + 20$

ステップ 5

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $5 x$ を引きます。

$(x + 2) (x - 2) - 5 x = 20$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 2) + 2 (x - 2) - 5 x = 20$

ステップ 5.2.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 5 x = 20$

ステップ 5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

ステップ 5.2.2

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.2.1

$x \cdot - 2$ と $2 x$ について因数を並べ替えます。

$x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

ステップ 5.2.2.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

ステップ 5.2.2.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

ステップ 5.2.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 4 - 5 x = 20$

ステップ 6

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} - 5 x = 20 + 4$

ステップ 6.2

$20$ と $4$ をたし算します。

$x^{2} - 5 x = 24$

ステップ 7

方程式の両辺から $24$ を引きます。

$x^{2} - 5 x - 24 = 0$

ステップ 8

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x - 24$ を因数分解します。

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ステップ 8.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 24$ で、その和が $- 5$ です。

$- 8, 3$

ステップ 8.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 8) (x + 3) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 10

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 11

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 12

最終解は $(x - 8) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 8, - 3$

代数 例

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