代数例

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$f (g (x))$

ステップ 2

$f$ に $g$ の値を代入し、 $f (\sqrt{1 - x^{2}})$ の値を求めます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {(\sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

ステップ 3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

ステップ 5

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

ステップ 5.5

簡約します。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

ステップ 6

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 7.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 7.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x + x (- x)$

ステップ 7.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x \cdot x$

ステップ 7.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.1.5.1

$x$ を移動させます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - (x \cdot x)$

ステップ 7.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x^{2}$

ステップ 7.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 0 - x^{2}$

ステップ 7.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x^{2}$

ステップ 8

$1$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = - x^{2} + 1$

代数 例

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