代数例

$f (x) = | - 2 x - 3 |$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

絶対値の独立変数を $0$ に等しいとし、解を分割する可能性のある値を求めます。

$- 2 x - 3 = 0$

ステップ 3

$x$ について方程式を解きます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 4

解の周りに区間を作り、 $- 2 x - 3$ が正と負になる場所を求めます。

$(- \infty, - \frac{3}{2}), (- \frac{3}{2}, \infty)$

ステップ 5

各区間から値を $- 2 x - 3$ に代入し、式が正または負になる場所を見つけます。

$\begin{array}{c} 区間 & 区間上の符号 \\ (- \infty, - \frac{3}{2}) & + \\ (- \frac{3}{2}, \infty) & - \end{array}$

ステップ 6

絶対値の独立変数を積分します。

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ステップ 6.1

絶対値の独立変数で積分を設定します。

$\int - 2 x - 3 d x$

ステップ 6.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 2 x d x + \int - 3 d x$

ステップ 6.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- 2 \int x d x + \int - 3 d x$

ステップ 6.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

ステップ 6.5

定数の法則を当てはめます。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

ステップ 6.6

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

ステップ 6.7

簡約します。

$- x^{2} - 3 x + C$

ステップ 7

独立変数が負になる区間上で積分の解に $- 1$ を掛けます。

${\begin{cases} - x^{2} - 3 x + C & x \leq - \frac{3}{2} \\ - (- x^{2} - 3 x + C) & x > - \frac{3}{2} \end{cases}$

ステップ 8

関数の微分係数の積分から導かれるならば関数 $F$ です。これは微積分の基本定理によって有効です。

$F (x) = {\begin{cases} - x^{2} - 3 x + C & x \leq - \frac{3}{2} \\ - (- x^{2} - 3 x + C) & x > - \frac{3}{2} \end{cases}$

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