代数例

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

ステップ 2

方程式を解きます。

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ステップ 2.1

指数表記で書きます。

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ステップ 2.1.1

対数方程式に対して、 $\log_{b} (x) = y$ は、 $x > 0$ 、 $b > 0$ 、 $b \neq 1$ のように $b^{y} = x$ と等しくなります。この場合、 $b = 3$ 、 $x = {(x - 1)}^{2}$ 、および $y = 2$ です。

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

ステップ 2.1.2

$b$ 、 $x$ 、および $y$ の値を方程式 $b^{y} = x$ に代入します。

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式を ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ として書き換えます。

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

ステップ 2.2.2

指数が等しいので、方程式の両辺の指数の底は等しくなければなりません。

$| x - 1 | = | 3 |$

ステップ 2.2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.3.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x - 1 = \pm | 3 |$

ステップ 2.2.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$x - 1 = \pm 3$

ステップ 2.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.2.3.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x - 1 = 3$

ステップ 2.2.3.3.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.2.3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 3 + 1$

ステップ 2.2.3.3.2.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$x = 4$

ステップ 2.2.3.3.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x - 1 = - 3$

ステップ 2.2.3.3.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.2.3.3.4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = - 3 + 1$

ステップ 2.2.3.3.4.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$x = - 2$

ステップ 2.2.3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 2$

ステップ 3

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{2} > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

方程式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$\sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x - 1 | > | 0 |$

ステップ 3.2.2.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$| x - 1 | > 0$

ステップ 3.2.3

$| x - 1 | > 0$ を区分で書きます。

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ステップ 3.2.3.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x - 1 \geq 0$

ステップ 3.2.3.2

不等式の両辺に $1$ を足します。

$x \geq 1$

ステップ 3.2.3.3

$x - 1$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x - 1 > 0$

ステップ 3.2.3.4

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x - 1 < 0$

ステップ 3.2.3.5

不等式の両辺に $1$ を足します。

$x < 1$

ステップ 3.2.3.6

$x - 1$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- (x - 1) > 0$

ステップ 3.2.3.7

区分で書きます。

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

ステップ 3.2.3.8

$- (x - 1) > 0$ を簡約します。

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ステップ 3.2.3.8.1

分配則を当てはめます。

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

ステップ 3.2.3.8.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

ステップ 3.2.4

不等式の両辺に $1$ を足します。

$x > 1$

ステップ 3.2.5

$x$ について $- x + 1 > 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.5.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$- x > - 1$

ステップ 3.2.5.2

$- x > - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.1

$- x > - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.5.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x < 1$

ステップ 3.2.6

解の和集合を求めます。

$x < 1$ または $x > 1$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

ステップ 5.1.3

左辺 $2.92994704$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.2

区間 $- 2 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $- 2 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

ステップ 5.2.3

左辺 $0$ は右辺 $2$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.3

区間 $1 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.3.1

区間 $1 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

ステップ 5.3.3

左辺 $0$ は右辺 $2$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 5.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

ステップ 5.4.3

左辺 $2.92994704$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 1$ 偽

$1 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 1$ 偽

$1 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 2$ または $x > 4$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 2 or x > 4$

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

ステップ 8

代数 例

代数例