代数例

$\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{5} (\frac{4 x^{2} - 6}{4 x + 1}) = 1$

ステップ 1.2

$2$ を $4 x^{2} - 6$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) - 6}{4 x + 1}) = 1$

ステップ 1.2.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)}{4 x + 1}) = 1$

ステップ 1.2.3

$2$ を $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{1} = \frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}$

ステップ 3

分数を削除するためにたすき掛けします。

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x + 1)$

ステップ 4

$5 (4 x + 1)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x) + 5 \cdot 1$

ステップ 4.2

掛け算します。

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ステップ 4.2.1

$4$ に $5$ をかけます。

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5 \cdot 1$

ステップ 4.2.2

$5$ に $1$ をかけます。

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5$

ステップ 5

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $20 x$ を引きます。

$2 (2 x^{2} - 3) - 20 x = 5$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

ステップ 5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

ステップ 5.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{2} - 6 - 20 x = 5$

ステップ 6

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.1

$2$ を $4 x^{2} - 6 - 20 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) - 6 - 20 x = 5$

ステップ 6.1.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) - 20 x = 5$

ステップ 6.1.3

$2$ を $- 20 x$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) + 2 (- 10 x) = 5$

ステップ 6.1.4

$2$ を $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x) = 5$

ステップ 6.1.5

$2$ を $2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2} - 3 - 10 x) = 5$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$

ステップ 7

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 7.2.1.2

$2 x^{2} - 10 x - 3$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{5}{2}$

ステップ 8

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 8.1

方程式の両辺から $\frac{5}{2}$ を引きます。

$2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2} = 0$

ステップ 8.2

$2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2}$ を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x^{2} - 10 x - 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

ステップ 8.2.2

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

ステップ 8.2.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2 - 5}{2} = 0$

ステップ 8.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.4.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 6 - 5}{2} = 0$

ステップ 8.2.4.2

$- 6$ から $5$ を引きます。

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 11}{2} = 0$

ステップ 8.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{2} - 10 x - \frac{11}{2} = 0$

ステップ 9

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

ステップ 9.2.2

$- 10$ に $2$ をかけます。

$4 x^{2} - 20 x + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

ステップ 9.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.1

$- \frac{11}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

ステップ 9.2.3.2

共通因数を約分します。

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

ステップ 9.2.3.3

式を書き換えます。

$4 x^{2} - 20 x - 11 = 0$

ステップ 10

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 11

$a = 4$ 、 $b = - 20$ 、および $c = - 11$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分子を簡約します。

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ステップ 12.1.1

$- 20$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

ステップ 12.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ を掛けます。

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ステップ 12.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

ステップ 12.1.2.2

$- 16$ に $- 11$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2 \cdot 4}$

ステップ 12.1.3

$400$ と $176$ をたし算します。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 4}$

ステップ 12.1.4

$576$ を $24^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 4}$

ステップ 12.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{20 \pm 24}{2 \cdot 4}$

ステップ 12.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm 24}{8}$

ステップ 12.3

$\frac{20 \pm 24}{8}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm 6}{2}$

ステップ 13

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{11}{2}, - \frac{1}{2}$

ステップ 14

$\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{11}{2}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{11}{2}$

10進法形式：

$x = 5.5$

帯分数形：

$x = 5 \frac{1}{2}$

代数 例

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