代数例

$y = {(\frac{1}{4})}^{x}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = {(\frac{1}{4})}^{y}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を ${(\frac{1}{4})}^{y} = x$ として書き換えます。

${(\frac{1}{4})}^{y} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({(\frac{1}{4})}^{y}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.3.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{1}{4})}^{y})$ を展開します。

$y \ln (\frac{1}{4}) = \ln (x)$

ステップ 2.3.2

$\ln (\frac{1}{4})$ を $\ln (1) - \ln (4)$ に書き換えます。

$y (\ln (1) - \ln (4)) = \ln (x)$

ステップ 2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$y (0 - \ln (4)) = \ln (x)$

ステップ 2.3.4

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$y (0 - \ln (2^{2})) = \ln (x)$

ステップ 2.3.5

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$y (0 - (2 \ln (2))) = \ln (x)$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y (0 - 2 \ln (2)) = \ln (x)$

ステップ 2.3.7

$0$ から $2 \ln (2)$ を引きます。

$y (- 2 \ln (2)) = \ln (x)$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$y (- 2 \ln (2))$ の因数を並べ替えます。

$- 2 y \ln (2) = \ln (x)$

ステップ 2.5

$- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ の各項を $- 2 \ln (2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ の各項を $- 2 \ln (2)$ で割ります。

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

ステップ 2.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

ステップ 2.5.2.2

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

ステップ 2.5.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ が $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{4})}^{x})}{2 \ln (2)}$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

ステップ 4.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

ステップ 4.2.4

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (2)$ を簡約します。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (2^{2})}$

ステップ 4.2.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (4)}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)})$ の値を求めます。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}}$

ステップ 4.3.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (2)$ を簡約します。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

ステップ 4.3.4

式を簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

ステップ 4.3.4.2

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

ステップ 4.3.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

ステップ 4.3.5

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \log_{4} (x)}}$

ステップ 4.3.5.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \log_{4} (x)$ を簡約します。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{\log_{4} (x^{- 1})}}$

ステップ 4.3.5.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

ステップ 4.3.5.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 4.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = 1 x$

ステップ 4.3.7

$x$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ は $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

代数 例

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