代数例

$\log_{2} (x^{2} + 2) - \log_{2} (3 x + 6) = 0$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 6}) = 0$

ステップ 1.2

$3$ を $3 x + 6$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x) + 6}) = 0$

ステップ 1.2.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

ステップ 1.2.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{0} = \frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}$

ステップ 3

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x^{2} + 2 = 2^{0} (3 (x + 2))$

ステップ 4

$2^{0} (3 (x + 2))$ を簡約します。

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ステップ 4.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{2} + 2 = 1 (3 (x + 2))$

ステップ 4.1.2

$3 (x + 2)$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + 2 = 3 (x + 2)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 = 3 x + 3 \cdot 2$

ステップ 4.3

$3$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + 2 = 3 x + 6$

ステップ 5

方程式の両辺から $3 x$ を引きます。

$x^{2} + 2 - 3 x = 6$

ステップ 6

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 - 3 x$ を因数分解します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x - 1) = 6$

ステップ 7

$(x - 2) (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 7.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 6$

ステップ 7.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 6$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

ステップ 7.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

ステップ 7.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

ステップ 7.2.1.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 6$

ステップ 7.2.2

$- x$ から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 3 x + 2 = 6$

ステップ 8

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} - 3 x + 2 - 6 = 0$

ステップ 9

$2$ から $6$ を引きます。

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

ステップ 10

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 10.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 10.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 1) = 0$

ステップ 11

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 12

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 13

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 14

最終解は $(x - 4) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 1$

代数 例

代数例