代数例

$\log_{2} (x^{2} - 4) - \log_{2} (2 x + 4) = 3$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 4}{2 x + 4}) = 3$

ステップ 1.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x + 4}) = 3$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 4}) = 3$

ステップ 1.3

項を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ を $2 x + 4$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) + 4}) = 3$

ステップ 1.3.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot 2}) = 3$

ステップ 1.3.1.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

ステップ 1.3.2

今日数因数で約分することで式 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}$ を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\log_{2} (\frac{x - 2}{2}) = 3$

ステップ 1.4

$\frac{x - 2}{2}$ を $(x - 2) \cdot 2^{- 1}$ に書き換えます。

$\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1}) = 3$

ステップ 1.5

$\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1})$ を $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1})$ に書き換えます。

$\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1}) = 3$

ステップ 1.6

対数の法則を利用して指数の外に $- 1$ を移動します。

$\log_{2} (x - 2) - \log_{2} (2) = 3$

ステップ 1.7

$2$ の対数の底 $2$ は $1$ です。

$\log_{2} (x - 2) - 1 \cdot 1 = 3$

ステップ 1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\log_{2} (x - 2) - 1 = 3$

ステップ 2

$\log_{2} (x - 2)$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\log_{2} (x - 2) = 3 + 1$

ステップ 2.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$\log_{2} (x - 2) = 4$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\log_{2} (x - 2) = 4$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{4} = x - 2$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $x - 2 = 2^{4}$ として書き換えます。

$x - 2 = 2^{4}$

ステップ 4.2

$2$ を $4$ 乗します。

$x - 2 = 16$

ステップ 4.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 16 + 2$

ステップ 4.3.2

$16$ と $2$ をたし算します。

$x = 18$

代数 例

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