代数例

${(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x} > {(\frac{4}{3})}^{3 x}$

ステップ 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

ステップ 2

$x^{2} + 5 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x})$ を展開します。

$(x^{2} + 5 x) \ln (\frac{3}{4}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

ステップ 3

$\ln (\frac{3}{4})$ を $\ln (3) - \ln (4)$ に書き換えます。

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (4)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

ステップ 4

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (2^{2})) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

ステップ 5

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - (2 \ln (2))) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

ステップ 6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

ステップ 7

$3 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$ を展開します。

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x \ln (\frac{4}{3})$

ステップ 8

$\ln (\frac{4}{3})$ を $\ln (4) - \ln (3)$ に書き換えます。

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

ステップ 9

$x$ について不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

ステップ 9.1.2

0を加えて簡約します。

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

ステップ 9.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} (\ln (3) - 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

ステップ 9.1.3.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

ステップ 9.1.3.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

ステップ 9.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

ステップ 9.1.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 \cdot - 2 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

ステップ 9.1.4.3

$5$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

ステップ 9.2

$3 x (\ln (4) - \ln (3))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 x (- \ln (3))$

ステップ 9.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 \cdot - 1 x \ln (3)$

ステップ 9.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) - 3 x \ln (3)$

ステップ 9.3

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

不等式の両辺から $3 x \ln (4)$ を引きます。

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > - 3 x \ln (3)$

ステップ 9.3.2

不等式の両辺に $3 x \ln (3)$ を足します。

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) + 3 x \ln (3) > 0$

ステップ 9.3.3

$5 x \ln (3)$ と $3 x \ln (3)$ をたし算します。

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

ステップ 9.4

$x$ を $x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$x$ を $x^{2} \ln (3)$ で因数分解します。

$x (x \ln (3)) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

ステップ 9.4.2

$x$ を $- 2 x^{2} \ln (2)$ で因数分解します。

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

ステップ 9.4.3

$x$ を $8 x \ln (3)$ で因数分解します。

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

ステップ 9.4.4

$x$ を $- 10 x \ln (2)$ で因数分解します。

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) - 3 x \ln (4) > 0$

ステップ 9.4.5

$x$ を $- 3 x \ln (4)$ で因数分解します。

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

ステップ 9.4.6

$x$ を $x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2))$ で因数分解します。

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

ステップ 9.4.7

$x$ を $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3))$ で因数分解します。

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

ステップ 9.4.8

$x$ を $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2))$ で因数分解します。

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

ステップ 9.4.9

$x$ を $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4))$ で因数分解します。

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$

ステップ 9.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

ステップ 9.6

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 9.7

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ が $0$ に等しいとします。

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

ステップ 9.7.2

$x$ について $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.1.1

方程式の両辺から $8 \ln (3)$ を引きます。

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3)$

ステップ 9.7.2.1.2

方程式の両辺に $10 \ln (2)$ を足します。

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$

ステップ 9.7.2.1.3

方程式の両辺に $3 \ln (4)$ を足します。

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

ステップ 9.7.2.2

$x$ を $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.2.1

$x$ を $x \ln (3)$ で因数分解します。

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

ステップ 9.7.2.2.2

$x$ を $- 2 x \ln (2)$ で因数分解します。

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

ステップ 9.7.2.2.3

$x$ を $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ で因数分解します。

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

ステップ 9.7.2.3

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ の各項を $\ln (3) - 2 \ln (2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.1

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ の各項を $\ln (3) - 2 \ln (2)$ で割ります。

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.2.1

$\ln (3) - 2 \ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.3.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.3.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.1.2.2

$2$ を $- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.3.1.2.2.1

$2$ を $- 8 \ln (3)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.1.2.2.2

$2$ を $10 \ln (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.1.2.2.3

$2$ を $2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.2.3

$5$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.3.3.1

$- 1$ を $- 8 \ln (3)$ で因数分解します。

$x = \frac{- (8 \ln (3)) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.3.2

$- 1$ を $10 \ln (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.3.3

$- 1$ を $- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2))$ で因数分解します。

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.3.4

$- 1$ を $3 \ln (4)$ で因数分解します。

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.3.5

$- 1$ を $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))$ で因数分解します。

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.2.3.3.3.6.1

$- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ を $- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.7.2.3.3.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 9.8

最終解は $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

$x > 0$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

区間 $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

区間 $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

${(\frac{3}{4})}^{{(- 10)}^{2} + 5 (- 10)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 10)}$

ステップ 11.1.3

左辺 $5.66321656 E - 7$ は右辺 $0.00017858$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(\frac{3}{4})}^{{(- 4)}^{2} + 5 (- 4)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 4)}$

ステップ 11.2.3

左辺 $3.16049382$ は右辺 $0.03167635$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(\frac{3}{4})}^{{(2)}^{2} + 5 (2)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (2)}$

ステップ 11.3.3

左辺 $0.01781794$ は右辺 $5.61865569$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ 偽

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ 偽

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

区間記号：

$(- \frac{\ln (\frac{6561}{65536})}{\ln (\frac{3}{4})}, 0)$

ステップ 14

代数 例

代数例