代数例

${(x + 1)}^{2} (x - 5) = 0$

ステップ 1

簡約し、多項式を降順に並べ替え、デカルトの法則を利用します。

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ステップ 1.1

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$(x + 1) (x + 1) (x - 5)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 5)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 5)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

ステップ 1.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

ステップ 1.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

ステップ 1.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + x + x + 1) (x - 5)$

ステップ 1.3.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$

ステップ 1.4

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$ を展開します。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

ステップ 1.5

項を簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.5.1.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.5.1.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

ステップ 1.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

ステップ 1.5.1.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

ステップ 1.5.1.2

$- 5$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

ステップ 1.5.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.5.1.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

ステップ 1.5.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

ステップ 1.5.1.4

$- 5$ に $2$ をかけます。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + 1 x + 1 \cdot - 5$

ステップ 1.5.1.5

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x + 1 \cdot - 5$

ステップ 1.5.1.6

$- 5$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x - 5$

ステップ 1.5.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$- 5 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + x - 5$

ステップ 1.5.2.2

$- 10 x$ と $x$ をたし算します。

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

ステップ 2

正の根の可能な数を求めるために、係数の符号を見て、係数の符号が正から負、負から正に変化した回数を数えます。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

ステップ 3

高次の項から低次の項へ $1$ 符号の反転があるので、最大でも $1$ の正の根があります（デカルトの符号法則）。

正根： $1$

ステップ 4

負の根の可能な数を求めるために、 $x$ を $- x$ に置き換えて符号の比較を繰り返します。

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

ステップ 5.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- x) = - x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

ステップ 5.3

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = - x^{3} - 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 9 (- x) - 5$

ステップ 5.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = - x^{3} - 3 (1 x^{2}) - 9 (- x) - 5$

ステップ 5.5

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 9 (- x) - 5$

ステップ 5.6

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 5$

ステップ 6

高次の項から低次の項へ $2$ 符号の反転があるので、最大でも $2$ の負の根があります（デカルトの符号法則）。負の根の他の数は、根の対を引くことで求めます（例： $2 - 2$ ）。

負の根： $2$ または $0$

ステップ 7

正根の可能な数は $1$ で、負根の可能な数は $2$ または $0$ です。

正根： $1$

負の根： $2$ または $0$

代数 例

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