代数例

$x^{2} < 15 x - 7$

ステップ 1

不等式の両辺から $15 x$ を引きます。

$x^{2} - 15 x < - 7$

ステップ 2

不等式の両辺に $7$ を足します。

$x^{2} - 15 x + 7 < 0$

ステップ 3

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 15 x + 7 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 1$ 、 $b = - 15$ 、および $c = 7$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 15$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 7$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$225$ から $28$ を引きます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 15$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 7$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2.2

$- 4$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

$225$ から $28$ を引きます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2}$

ステップ 7.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

ステップ 8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 15$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 7$ を掛けます。

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ステップ 8.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2.2

$- 4$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.3

$225$ から $28$ を引きます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2}$

ステップ 8.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = \frac{15 + \sqrt{197}}{2}, \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

$x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} < 15 (0) - 7$

ステップ 11.1.3

左辺 $0$ は右辺 $- 7$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.2

区間 $\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

${(3)}^{2} < 15 (3) - 7$

ステップ 11.2.3

左辺 $9$ は右辺 $38$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.3

区間 $x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 17$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $17$ で置き換えます。

${(17)}^{2} < 15 (17) - 7$

ステップ 11.3.3

左辺 $289$ は右辺 $248$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ 偽

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ 真

$x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ 偽

$x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ 偽

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ 真

$x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(\frac{15 - \sqrt{197}}{2}, \frac{15 + \sqrt{197}}{2})$

ステップ 14

代数 例

代数例