代数例

$\frac{3}{x^{2} - 49} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 49}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{x^{2} - 7^{2}} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 49}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 7$ です。

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 49}$

ステップ 1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 7^{2}}$

ステップ 1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

ステップ 1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}$

ステップ 1.2.4

$a = x$ と $b = 7$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$

ステップ 2

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 7}{x - 7}$ を掛けます。

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 7}{x - 7} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$

ステップ 3

$- \frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 7}{x + 7}$ を掛けます。

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 7}{x - 7} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 7) {(x - 7)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)}$ に $\frac{x - 7}{x - 7}$ をかけます。

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) (x - 7) (x - 7)} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

ステップ 4.2

$x - 7$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) ({(x - 7)}^{1} (x - 7))} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

ステップ 4.3

$x - 7$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) ({(x - 7)}^{1} {(x - 7)}^{1})} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) {(x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) {(x - 7)}^{2}} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

ステップ 4.6

$\frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$ に $\frac{x + 7}{x + 7}$ をかけます。

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) {(x - 7)}^{2}} - \frac{9 (x + 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 4.7

$(x + 7) {(x - 7)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 (x - 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)} - \frac{9 (x + 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 (x - 7) - 9 (x + 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ を $3 (x - 7) - 9 (x + 7)$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$3$ を $- 9 (x + 7)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 7) + 3 (- 3 (x + 7))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6.1.2

$3$ を $3 (x - 7) + 3 (- 3 (x + 7))$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 7 - 3 (x + 7))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (x - 7 - 3 x - 3 \cdot 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6.3

$- 3$ に $7$ をかけます。

$\frac{3 (x - 7 - 3 x - 21)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6.4

$x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{3 (- 2 x - 7 - 21)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6.5

$- 7$ から $21$ を引きます。

$\frac{3 (- 2 x - 28)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6.6

$2$ を $- 2 x - 28$ で因数分解します。

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ステップ 6.6.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 (- x) - 28)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6.6.2

$2$ を $- 28$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 (- x) + 2 (- 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6.6.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (- 14)$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 (- x - 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

$\frac{3 \cdot 2 (- x - 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 6.7

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 (- x - 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{6 (- (x) - 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 7.2

$- 14$ を $- 1 (14)$ に書き換えます。

$\frac{6 (- (x) - 1 (14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (14)$ で因数分解します。

$\frac{6 (- (x + 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 7.4

式を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- (x + 14)$ を $- 1 (x + 14)$ に書き換えます。

$\frac{6 (- 1 (x + 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

ステップ 7.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6 (x + 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

代数 例

代数例