代数例

$f (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 21}{p (x)}$

ステップ 1

式 $\frac{(x - 3) (x + 7)}{p x}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 21$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 21$ で、その和が $4$ です。

$- 3, 7$

ステップ 5.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 3) (x + 7)}{p x}$

ステップ 5.2

$(x - 3) (x + 7)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + 7) - 3 (x + 7)}{p x}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 7 - 3 (x + 7)}{p x}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 7 - 3 x - 3 \cdot 7}{p x}$

ステップ 5.2.4

$x$ と $7$ を並べ替えます。

$\frac{x \cdot x + 7 x - 3 x - 3 \cdot 7}{p x}$

ステップ 5.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x + 7 x - 3 x - 3 \cdot 7}{p x}$

ステップ 5.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x + 7 x - 3 x - 3 \cdot 7}{p x}$

ステップ 5.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 1} + 7 x - 3 x - 3 \cdot 7}{p x}$

ステップ 5.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 7 x - 3 x - 3 \cdot 7}{p x}$

ステップ 5.2.9

$- 3$ に $7$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 7 x - 3 x - 21}{p x}$

ステップ 5.2.10

$7 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 21}{p x}$

ステップ 5.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$p x$

$0$

$x^{2}$

$4 x$

$21$

ステップ 5.4

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $p x$ の最高次項で割ります。

					$\frac{x}{p}$
	$p x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$

ステップ 5.5

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{x}{p}$
$p x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			+	$x^{2}$	+	$0$

ステップ 5.6

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{x}{p}$
$p x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$x^{2}$	-	$0$

ステップ 5.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{x}{p}$
$p x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$

ステップ 5.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$\frac{x}{p}$
$p x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	-	$21$

ステップ 5.9

被除数 $4 x$ の最高次項を除数 $p x$ の最高次項で割ります。

				$\frac{x}{p}$	+	$\frac{4}{p}$
$p x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	-	$21$

ステップ 5.10

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{x}{p}$	+	$\frac{4}{p}$
$p x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	-	$21$
					+	$4 x$	+	$0$

ステップ 5.11

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x + 0$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{x}{p}$	+	$\frac{4}{p}$
$p x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	-	$21$
					-	$4 x$	-	$0$

ステップ 5.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{x}{p}$	+	$\frac{4}{p}$
$p x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	-	$21$
					-	$4 x$	-	$0$
							-	$21$

ステップ 5.13

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{x}{p} + \frac{4}{p} - \frac{21}{p x}$

ステップ 5.14

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = \frac{x}{p} + \frac{4}{p}$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = \frac{x}{p} + \frac{4}{p}$

ステップ 7

代数 例

代数例