代数例

$4^{3 x + 2} = (x - 5) \cdot 8^{2 x}$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln (4^{3 x + 2}) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

ステップ 2

$3 x + 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (4^{3 x + 2})$ を展開します。

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

ステップ 3

$\ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$ を $\ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$ に書き換えます。

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$

ステップ 4

$2 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (8^{2 x})$ を展開します。

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$(3 x + 2) \ln (4)$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

分配則を当てはめます。

$3 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

ステップ 5.1.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (4)$ を簡約します。

$x \ln (4^{3}) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

ステップ 5.1.1.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (4)$ を簡約します。

$x \ln (4^{3}) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

ステップ 5.1.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.4.1

$4$ を $3$ 乗します。

$x \ln (64) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

ステップ 5.1.1.4.2

$4$ を $2$ 乗します。

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (8)$ を簡約します。

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (8^{2})$

ステップ 5.2.1.2

$8$ を $2$ 乗します。

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (64)$

ステップ 5.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64) = 0$

ステップ 5.4

$x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.4.1

$x \ln (64)$ から $x \ln (64)$ を引きます。

$0 + \ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

ステップ 5.4.2

$0$ と $\ln (16)$ をたし算します。

$\ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

ステップ 5.5

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$

ステップ 5.6

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{16}{x - 5})} = e^{0}$

ステップ 5.7

対数の定義を利用して $\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \frac{16}{x - 5}$

ステップ 5.8

$x$ について解きます。

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ステップ 5.8.1

方程式を $\frac{16}{x - 5} = e^{0}$ として書き換えます。

$\frac{16}{x - 5} = e^{0}$

ステップ 5.8.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{16}{x - 5} = 1$

ステップ 5.8.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.8.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x - 5, 1$

ステップ 5.8.3.2

括弧を削除します。

$x - 5, 1$

ステップ 5.8.3.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x - 5$

ステップ 5.8.4

$\frac{16}{x - 5} = 1$ の各項に $x - 5$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.8.4.1

$\frac{16}{x - 5} = 1$ の各項に $x - 5$ を掛けます。

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

ステップ 5.8.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.8.4.2.1

$x - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

ステップ 5.8.4.2.1.2

式を書き換えます。

$16 = 1 (x - 5)$

ステップ 5.8.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.8.4.3.1

$x - 5$ に $1$ をかけます。

$16 = x - 5$

ステップ 5.8.5

方程式を解きます。

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ステップ 5.8.5.1

方程式を $x - 5 = 16$ として書き換えます。

$x - 5 = 16$

ステップ 5.8.5.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.8.5.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 16 + 5$

ステップ 5.8.5.2.2

$16$ と $5$ をたし算します。

$x = 21$

代数 例

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