代数例

$f (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 3}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 3}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt[3]{x^{5} - 3}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[3]{y^{5} - 3}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt[3]{y^{5} - 3} = x$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{y^{5} - 3} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{y^{5} - 3}}^{3} = x^{3}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y^{5} - 3}$ を ${(y^{5} - 3)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(y^{5} - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${({(y^{5} - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(y^{5} - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y^{5} - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y^{5} - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y^{5} - 3)}^{1} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$y^{5} - 3 = x^{3}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y^{5} = x^{3} + 3$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[5]{x^{3} + 3}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x^{3} + 3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x^{3} + 3}$ が $f (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 3}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = \sqrt[5]{{(\sqrt[3]{x^{5} - 3})}^{3} + 3}$

ステップ 5.2.3

${\sqrt[3]{x^{5} - 3}}^{3}$ を $x^{5} - 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{5} - 3}$ を ${(x^{5} - 3)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = \sqrt[5]{{({(x^{5} - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3}$

ステップ 5.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = \sqrt[5]{{(x^{5} - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3}$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = \sqrt[5]{{(x^{5} - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3}$

ステップ 5.2.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = \sqrt[5]{{(x^{5} - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3}$

ステップ 5.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = \sqrt[5]{(x^{5} - 3) + 3}$

ステップ 5.2.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = \sqrt[5]{x^{5} - 3 + 3}$

ステップ 5.2.4

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

ステップ 5.2.4.2

$x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

ステップ 5.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{5} - 3}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[5]{x^{3} + 3})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = \sqrt[3]{{(\sqrt[5]{x^{3} + 3})}^{5} - 3}$

ステップ 5.3.3

${\sqrt[5]{x^{3} + 3}}^{5}$ を $x^{3} + 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x^{3} + 3}$ を ${(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = \sqrt[3]{{({(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 3}$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 3}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 3)}^{\frac{5}{5}} - 3}$

ステップ 5.3.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 3)}^{\frac{5}{5}} - 3}$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = \sqrt[3]{(x^{3} + 3) - 3}$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 - 3}$

ステップ 5.3.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

ステップ 5.3.4.2

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 5.3.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt[5]{x^{3} + 3}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x^{3} + 3}$ は $f (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x^{3} + 3}$

代数 例

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