代数例

$x^{4} = 8 x^{2} + 9$

ステップ 1

方程式の両辺から $8 x^{2}$ を引きます。

$x^{4} - 8 x^{2} = 9$

ステップ 2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 3.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

ステップ 3.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 8 u - 9$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 9$ で、その和が $- 8$ です。

$- 9, 1$

ステップ 3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 9) (u + 1) = 0$

ステップ 3.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(x^{2} - 9) (x^{2} + 1) = 0$

ステップ 3.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 1) = 0$

ステップ 3.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7

$x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 7.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 7.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 7.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 7.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 8

最終解は $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3, i, - i$

ステップ 9

代数 例

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