代数例

$\sqrt{x^{2} - x - 2} < \sqrt{x + 6}$

ステップ 1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} - x - 2}}^{2} < {\sqrt{x + 6}}^{2}$

ステップ 2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - x - 2}$ を ${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{x + 6}}^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x + 6}}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x + 6}}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - x - 2)}^{1} < {\sqrt{x + 6}}^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{x + 6}}^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${\sqrt{x + 6}}^{2}$ を $x + 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 6}$ を ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} - x - 2 < {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} - x - 2 < {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} - x - 2 < {(x + 6)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - x - 2 < {(x + 6)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.3.1.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} - x - 2 < {(x + 6)}^{1}$

ステップ 2.3.1.5

簡約します。

$x^{2} - x - 2 < x + 6$

ステップ 3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

不等式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} - x - 2 - x < 6$

ステップ 3.1.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 2 < 6$

ステップ 3.2

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 2 x - 2 = 6$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 2 - 6 = 0$

ステップ 3.4

$- 2$ から $6$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

ステップ 3.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 2$ です。

$- 4, 2$

ステップ 3.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 2) = 0$

ステップ 3.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 3.7

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.8

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.9

最終解は $(x - 4) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 2$

ステップ 4

$\sqrt{(x - 2) (x + 1)} - \sqrt{x + 6}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt{(x - 2) (x + 1)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x - 2) (x + 1) \geq 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2.2

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.2.4

最終解は $(x - 2) (x + 1) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1$

ステップ 4.2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 4.2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 4.2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) - 2) ((- 4) + 1) \geq 0$

ステップ 4.2.6.1.3

左辺 $18$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.2.6.2

区間 $- 1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

区間 $- 1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 4.2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) - 2) ((0) + 1) \geq 0$

ステップ 4.2.6.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.2.6.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 4.2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) - 2) ((4) + 1) \geq 0$

ステップ 4.2.6.3.3

左辺 $10$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.2.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 4.2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 1$ または $x \geq 2$

ステップ 4.3

$\sqrt{x + 6}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 6 \geq 0$

ステップ 4.4

不等式の両辺から $6$ を引きます。

$x \geq - 6$

ステップ 4.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 6, - 1] \cup [2, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 6$

$- 6 < x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

区間 $x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

区間 $x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\sqrt{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 2} < \sqrt{(- 8) + 6}$

ステップ 6.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.2

区間 $- 6 < x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

区間 $- 6 < x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - (- 4) - 2} < \sqrt{(- 4) + 6}$

ステップ 6.2.3

左辺 $4.24264068$ は右辺 $1.41421356$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.3

区間 $- 2 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

区間 $- 2 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1.5$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $- 1.5$ で置き換えます。

$\sqrt{{(- 1.5)}^{2} - (- 1.5) - 2} < \sqrt{(- 1.5) + 6}$

ステップ 6.3.3

左辺 $1.32287565$ は右辺 $2.12132034$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.4

区間 $- 1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

区間 $- 1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt{{(0)}^{2} - (0) - 2} < \sqrt{(0) + 6}$

ステップ 6.4.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.5

区間 $2 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

区間 $2 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 6.5.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\sqrt{{(3)}^{2} - (3) - 2} < \sqrt{(3) + 6}$

ステップ 6.5.3

左辺 $2$ は右辺 $3$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.6

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 6.6.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\sqrt{{(6)}^{2} - (6) - 2} < \sqrt{(6) + 6}$

ステップ 6.6.3

左辺 $5.29150262$ は右辺 $3.46410161$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.7

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 6$ 偽

$- 6 < x < - 2$ 偽

$- 2 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 2$ 偽

$2 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 6$ 偽

$- 6 < x < - 2$ 偽

$- 2 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 2$ 偽

$2 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$- 2 < x < - 1$ または $2 < x < 4$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 2 < x < - 1 or 2 < x < 4$

区間記号：

$(- 2, - 1) \cup (2, 4)$

ステップ 9

代数 例

代数例