代数例

$\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} > \frac{5}{x}$

ステップ 1

両辺に $x$ を掛けます。

$(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x = \frac{5}{x} x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

ステップ 2.1.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

ステップ 2.1.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

ステップ 2.1.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$

ステップ 3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2, x, 1$

ステップ 3.1.2

$2, x, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $2, 1, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $x^{1}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 3.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 3.1.4

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 3.1.5

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 3.1.6

$2, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2$

ステップ 3.1.7

$x^{1}$ の因数は $x$ そのものです。

$x^{1} = x$

$x$ は $1$ 回発生します。

ステップ 3.1.8

$x^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x$

ステップ 3.1.9

$2, x, 1$ の最小公倍数は数値部分 $2$ に変数部分を掛けたものです。

$2 x$

ステップ 3.2

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ の各項に $2 x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ の各項に $2 x$ を掛けます。

$\frac{x}{2} (2 x) + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x \cdot x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.2.1.3

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 2 \frac{12}{x} x = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.2.1.5

$2 \frac{12}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.5.1

$2$ と $\frac{12}{x}$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{2 \cdot 12}{x} x = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.2.1.5.2

$2$ に $12$ をかけます。

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.2.1.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.2.1.6.2

式を書き換えます。

$x^{2} + 24 = 5 (2 x)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$2$ に $5$ をかけます。

$x^{2} + 24 = 10 x$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $10 x$ を引きます。

$x^{2} + 24 - 10 x = 0$

ステップ 3.3.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 24 - 10 x$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $24$ で、その和が $- 10$ です。

$- 6, - 4$

ステップ 3.3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 6) (x - 4) = 0$

ステップ 3.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 3.3.4

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.4.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.3.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3.3.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.3.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.3.6

最終解は $(x - 6) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, 4$

ステップ 4

$\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} - \frac{5}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{12}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(- 2)}^{2}} > \frac{5}{- 2}$

ステップ 6.1.3

左辺 $3.5$ は右辺 $- 2.5$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.2

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(2)}^{2}} > \frac{5}{2}$

ステップ 6.2.3

左辺 $3.5$ は右辺 $2.5$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.3

区間 $4 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $4 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(5)}^{2}} > \frac{5}{5}$

ステップ 6.3.3

左辺 $0.98$ は右辺 $1$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.4

区間 $x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.4.1

区間 $x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(8)}^{2}} > \frac{5}{8}$

ステップ 6.4.3

左辺 $0.6875$ は右辺 $0.625$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 4$ 真

$4 < x < 6$ 偽

$x > 6$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 4$ 真

$4 < x < 6$ 偽

$x > 6$ 真

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $0 < x < 4$ または $x > 6$

ステップ 8

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (6, \infty)$

ステップ 9

代数 例

代数例