代数例

$\log_{x + 4} (3 x^{2} - 4 x + 2) = 2$

ステップ 1

対数の定義を利用して $\log_{x + 4} (3 x^{2} - 4 x + 2) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

${(x + 4)}^{2} = 3 x^{2} - 4 x + 2$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = {(x + 4)}^{2}$

ステップ 2.2

${(x + 4)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1

書き換えます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = 0 + 0 + {(x + 4)}^{2}$

ステップ 2.2.2

${(x + 4)}^{2}$ を $(x + 4) (x + 4)$ に書き換えます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = (x + 4) (x + 4)$

ステップ 2.2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x + 4)$ を展開します。

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ステップ 2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

ステップ 2.2.3.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

ステップ 2.2.3.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

ステップ 2.2.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.2.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

ステップ 2.2.4.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

ステップ 2.2.4.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

ステップ 2.2.4.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$3 x^{2} - 4 x + 2 = x^{2} + 8 x + 16$

ステップ 2.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} = 8 x + 16$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $8 x$ を引きます。

$3 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} - 8 x = 16$

ステップ 2.3.3

$3 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$2 x^{2} - 4 x + 2 - 8 x = 16$

ステップ 2.3.4

$- 4 x$ から $8 x$ を引きます。

$2 x^{2} - 12 x + 2 = 16$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$2 x^{2} - 12 x + 2 - 16 = 0$

ステップ 2.5

$2$ から $16$ を引きます。

$2 x^{2} - 12 x - 14 = 0$

ステップ 2.6

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.6.1

$2$ を $2 x^{2} - 12 x - 14$ で因数分解します。

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ステップ 2.6.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) - 12 x - 14 = 0$

ステップ 2.6.1.2

$2$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 14 = 0$

ステップ 2.6.1.3

$2$ を $- 14$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

ステップ 2.6.1.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ で因数分解します。

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

ステップ 2.6.1.5

$2$ を $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7$ で因数分解します。

$2 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

ステップ 2.6.2

因数分解。

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ステップ 2.6.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x - 7$ を因数分解します。

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ステップ 2.6.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 7$ で、その和が $- 6$ です。

$- 7, 1$

ステップ 2.6.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

ステップ 2.6.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x - 7) (x + 1) = 0$

ステップ 2.7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.8

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.8.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 2.8.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 2.9

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.9.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.9.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.10

最終解は $2 (x - 7) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 7, - 1$

代数 例

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