代数例

$\frac{x^{2} - 1}{x} < 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 1, - 1$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = 0, 1, - 1$

ステップ 8

$\frac{x^{2} - 1}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{x^{2} - 1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 8.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1}{- 4} < 0$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 3.75$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.2

区間 $- 1 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 1 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.5$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

$\frac{{(- 0.5)}^{2} - 1}{- 0.5} < 0$

ステップ 10.2.3

左辺 $1.5$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.3

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$\frac{{(0.5)}^{2} - 1}{0.5} < 0$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 1.5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.4

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} < 0$

ステップ 10.4.3

左辺 $3.75$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$ または $0 < x < 1$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 1 or 0 < x < 1$

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$

ステップ 13

代数 例

代数例