代数例

$\sqrt{4 x + 97} > 2 x - 1$

ステップ 1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{4 x + 97}}^{2} > {(2 x - 1)}^{2}$

ステップ 2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x + 97}$ を ${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(2 x - 1)}^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(2 x - 1)}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(2 x - 1)}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 x + 97)}^{1} > {(2 x - 1)}^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$4 x + 97 > {(2 x - 1)}^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(2 x - 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

${(2 x - 1)}^{2}$ を $(2 x - 1) (2 x - 1)$ に書き換えます。

$4 x + 97 > (2 x - 1) (2 x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 1) (2 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$4 x + 97 > 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

ステップ 2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$4 x + 97 > 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$4 x + 97 > 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + 97 > 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

ステップ 2.3.1.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 4 x + 1$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$4 x^{2} - 4 x + 1 < 4 x + 97$

ステップ 3.2

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

不等式の両辺から $4 x$ を引きます。

$4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 x < 97$

ステップ 3.2.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$4 x^{2} - 8 x + 1 < 97$

ステップ 3.3

不等式を方程式に変換します。

$4 x^{2} - 8 x + 1 = 97$

ステップ 3.4

方程式の両辺から $97$ を引きます。

$4 x^{2} - 8 x + 1 - 97 = 0$

ステップ 3.5

$1$ から $97$ を引きます。

$4 x^{2} - 8 x - 96 = 0$

ステップ 3.6

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.6.1

$4$ を $4 x^{2} - 8 x - 96$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (x^{2}) - 8 x - 96 = 0$

ステップ 3.6.1.2

$4$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) - 96 = 0$

ステップ 3.6.1.3

$4$ を $- 96$ で因数分解します。

$4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

ステップ 3.6.1.4

$4$ を $4 x^{2} + 4 (- 2 x)$ で因数分解します。

$4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

ステップ 3.6.1.5

$4$ を $4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 24$ で因数分解します。

$4 (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

ステップ 3.6.2

因数分解。

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ステップ 3.6.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 24$ を因数分解します。

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ステップ 3.6.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 24$ で、その和が $- 2$ です。

$- 6, 4$

ステップ 3.6.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$4 ((x - 6) (x + 4)) = 0$

ステップ 3.6.2.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 6) (x + 4) = 0$

ステップ 3.7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 3.8

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.8.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3.9

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.9.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.9.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.10

最終解は $4 (x - 6) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, - 4$

ステップ 4

$\sqrt{4 x + 97} - 2 x + 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\sqrt{4 x + 97}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 x + 97 \geq 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

不等式の両辺から $97$ を引きます。

$4 x \geq - 97$

ステップ 4.2.2

$4 x \geq - 97$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$4 x \geq - 97$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 97}{4}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 97}{4}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 97}{4}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x \geq - \frac{97}{4}$

ステップ 4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- \frac{97}{4}, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{97}{4}$

$- \frac{97}{4} < x < - 4$

$- 4 < x < 6$

$x > 6$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - \frac{97}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - \frac{97}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 27$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 27$ で置き換えます。

$\sqrt{4 (- 27) + 97} > 2 (- 27) - 1$

ステップ 6.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.2

区間 $- \frac{97}{4} < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- \frac{97}{4} < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\sqrt{4 (- 6) + 97} > 2 (- 6) - 1$

ステップ 6.2.3

左辺 $8.54400374$ は右辺 $- 13$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.3

区間 $- 4 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $- 4 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt{4 (0) + 97} > 2 (0) - 1$

ステップ 6.3.3

左辺 $9.8488578$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.4

区間 $x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.4.1

区間 $x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\sqrt{4 (8) + 97} > 2 (8) - 1$

ステップ 6.4.3

左辺 $11.35781669$ は右辺 $15$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{97}{4}$ 偽

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ 真

$- 4 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

$x < - \frac{97}{4}$ 偽

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ 真

$- 4 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ または $- 4 < x < 6$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- \frac{97}{4} < x < - 4 or - 4 < x < 6$

区間記号：

$(- \frac{97}{4}, - 4) \cup (- 4, 6)$

ステップ 9

代数 例

代数例