代数例

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

ステップ 1

割り算を関数に書き換えます。

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

ステップ 3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

ステップ 5.2

多項式を書き換えます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

ステップ 5.3

$a = x$ と $b = y$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

ステップ 6

分母を簡約します。

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ステップ 6.1

項を並べ替えます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + y}{x + y}$ を掛けます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

ステップ 6.3

$\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y - x}{y - x}$ を掛けます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

ステップ 6.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(y - x) {(x + y)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.4.1

$\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ に $\frac{x + y}{x + y}$ をかけます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

ステップ 6.4.2

$x + y$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

ステップ 6.4.3

$x + y$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

ステップ 6.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

ステップ 6.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

ステップ 6.4.6

$\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ に $\frac{y - x}{y - x}$ をかけます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

ステップ 6.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

ステップ 6.6

因数分解した形で $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ を書き換えます。

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ステップ 6.6.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

ステップ 6.6.2

$y + y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

ステップ 6.6.3

$y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

まとめる。

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

ステップ 7.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

ステップ 8

$\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ を $\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ で因数分解します。

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

ステップ 9

まとめる。

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

ステップ 10

$y - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

ステップ 10.2

式を書き換えます。

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

ステップ 11

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$2$ を ${(x + y)}^{2} (4 x y)$ で因数分解します。

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

$2$ を $2 y (y + x)$ で因数分解します。

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

ステップ 11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

ステップ 11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

ステップ 12

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

ステップ 12.2

式を書き換えます。

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

ステップ 13

${(x + y)}^{2}$ と $y + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

項を並べ替えます。

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

ステップ 13.2

$x + y$ を ${(x + y)}^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

ステップ 13.3

共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

ステップ 13.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

ステップ 13.3.3

式を書き換えます。

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

ステップ 13.3.4

$(x + y) (2 x)$ を $1$ で割ります。

$(x + y) (2 x)$

ステップ 14

分配則を当てはめます。

$x (2 x) + y (2 x)$

ステップ 15

並べ替えます。

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ステップ 15.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x \cdot x + y (2 x)$

ステップ 15.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x \cdot x + 2 y x$

ステップ 16

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 16.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

ステップ 16.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + 2 y x$

代数 例

代数例