代数例

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

ステップ 1

両辺に $x^{2} + 2 x$ を掛けます。

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{2} + 2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

ステップ 2.2.1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.2.1.1.3

多項式を書き換えます。

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

ステップ 2.2.1.1.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

ステップ 2.2.1.2

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ に $x^{2} + 2 x$ をかけます。

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.2.1.3

$x$ を $x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.2.1.3.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.2.1.3.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 2$ で因数分解します。

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.2.1.4

$x + 2$ と ${(x + 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.4.1

$x + 2$ を $3 x (x + 2)$ で因数分解します。

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.4.2.1

$x + 2$ を ${(x + 2)}^{2}$ で因数分解します。

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

ステップ 2.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

ステップ 2.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ として書き換えます。

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x + 2, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$x + 2, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x + 2$

ステップ 3.3

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$ の各項に $x + 2$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$ の各項に $x + 2$ を掛けます。

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$3 x = 12 (x + 2)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

ステップ 3.3.3.2

$12$ に $2$ をかけます。

$3 x = 12 x + 24$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

方程式の両辺から $12 x$ を引きます。

$3 x - 12 x = 24$

ステップ 3.4.1.2

$3 x$ から $12 x$ を引きます。

$- 9 x = 24$

ステップ 3.4.2

$- 9 x = 24$ の各項を $- 9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 9 x = 24$ の各項を $- 9$ で割ります。

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$- 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{24}{- 9}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.3.1

$24$ と $- 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.3.1.1

$3$ を $24$ で因数分解します。

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.3.1.2.1

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

ステップ 3.4.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

ステップ 3.4.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{8}{- 3}$

ステップ 3.4.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{8}{3}$

ステップ 4

$\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{12}{x (x + 2)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x (x + 2) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 4.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.2.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.2.4

最終解は $x (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 4.3

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - \frac{8}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - \frac{8}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

ステップ 6.1.3

左辺 $0.8$ は右辺 $0.\overline{3}$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.2

区間 $- \frac{8}{3} < x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- \frac{8}{3} < x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2.33$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2.33$ で置き換えます。

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

ステップ 6.2.3

左辺 $15.60671088$ は右辺 $27.54820936$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.3

区間 $- 2 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $- 2 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

ステップ 6.3.3

左辺 $- 12$ は右辺 $3$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.4

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.4.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

ステップ 6.4.3

左辺 $1.5$ は右辺 $0.1875$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{8}{3}$ 偽

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

$x < - \frac{8}{3}$ 偽

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ または $- 2 < x < 0$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

区間記号：

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

ステップ 9

代数 例

代数例