代数例

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \div \frac{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}{2 p^{2} + 6 p + 18}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(p^{2} - 2^{2}) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = p$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 3^{3}} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = p$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + p \cdot 3 + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3$ を $p$ の左に移動させます。

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 \cdot p + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 3.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$p + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$p + 2$ を $(p + 2) (p - 2) (p + 3)$ で因数分解します。

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$

ステップ 4.2

$\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$ に $\frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$ をかけます。

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 5

$2$ を $2 p^{2} + 6 p + 18$ で因数分解します。

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ステップ 5.1

$2$ を $2 p^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 5.2

$2$ を $6 p$ で因数分解します。

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 2 (3 p) + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 5.3

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 2 (3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 5.4

$2$ を $2 p^{2} + 2 (3 p)$ で因数分解します。

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 5.5

$2$ を $2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9$ で因数分解します。

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p + 9))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

ステップ 6

たすき掛けを利用して $p^{2} + p - 6$ を因数分解します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) ((p - 2) (p + 3))}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

ステップ 7

$p - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

ステップ 8

$p + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

共通因数を約分します。

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

ステップ 8.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

ステップ 9

$p^{2} + 3 p + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

ステップ 9.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{p - 3}$

代数 例

代数例