代数例

$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

ステップ 1

方程式を $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ として書き換えます。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$

ステップ 2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})} = e^{y}$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$ として書き換えます。

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\sqrt{x^{2} + 1} = e^{y} - x$

ステップ 4.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

ステップ 4.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

ステップ 4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

ステップ 4.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

ステップ 4.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} + 1)}^{1} = {(e^{y} - x)}^{2}$

ステップ 4.4.2.1.2

簡約します。

$x^{2} + 1 = {(e^{y} - x)}^{2}$

ステップ 4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

${(e^{y} - x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.1

${(e^{y} - x)}^{2}$ を $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ に書き換えます。

$x^{2} + 1 = (e^{y} - x) (e^{y} - x)$

ステップ 4.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 1 = e^{y} (e^{y} - x) - x (e^{y} - x)$

ステップ 4.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x (e^{y} - x)$

ステップ 4.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

ステップ 4.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.3.1.1

指数を足して $e^{y}$ に $e^{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + 1 = e^{y + y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

ステップ 4.4.3.1.3.1.1.2

$y$ と $y$ をたし算します。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

ステップ 4.4.3.1.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - x (- x)$

ステップ 4.4.3.1.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

ステップ 4.4.3.1.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

ステップ 4.4.3.1.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x^{2}$

ステップ 4.4.3.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + 1 x^{2}$

ステップ 4.4.3.1.3.1.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + x^{2}$

ステップ 4.4.3.1.3.2

$- e^{y} x$ から $x e^{y}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.3.2.1

$e^{y}$ を移動させます。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - x e^{y} - x e^{y} + x^{2}$

ステップ 4.4.3.1.3.2.2

$- x e^{y}$ から $x e^{y}$ を引きます。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2}$

ステップ 4.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} = x^{2} + 1$

ステップ 4.5.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2} = 1$

ステップ 4.5.2.2

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + 0 = 1$

ステップ 4.5.2.2.2

$e^{2 y} - 2 x e^{y}$ と $0$ をたし算します。

$e^{2 y} - 2 x e^{y} = 1$

ステップ 4.5.3

方程式の両辺から $e^{2 y}$ を引きます。

$- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$

ステップ 4.5.4

$- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ の各項を $- 2 e^{y}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.1

$- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ の各項を $- 2 e^{y}$ で割ります。

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

ステップ 4.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

ステップ 4.5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

ステップ 4.5.4.2.2

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

ステップ 4.5.4.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

ステップ 4.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

ステップ 4.5.4.3.1.2

$e^{2 y}$ と $e^{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.3.1.2.1

$e^{y}$ を $- e^{2 y}$ で因数分解します。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{- 2 e^{y}}$

ステップ 4.5.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.3.1.2.2.1

$e^{y}$ を $- 2 e^{y}$ で因数分解します。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

ステップ 4.5.4.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

ステップ 4.5.4.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{y}}{- 2}$

ステップ 4.5.4.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y}}{2}$

代数 例

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