代数例

$\log (x) + \log (x - 3) \leq \log (10)$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log (x) + \log (x - 3) = \log (10)$

ステップ 2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log (x (x - 3)) = \log (10)$

ステップ 2.1.2

分配則を当てはめます。

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3) = \log (10)$

ステップ 2.1.3

式を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log (x^{2} + x \cdot - 3) = \log (10)$

ステップ 2.1.3.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\log (x^{2} - 3 x) = \log (10)$

ステップ 2.2

$10$ の対数の底 $10$ は $1$ です。

$\log (x^{2} - 3 x) = 1$

ステップ 2.3

対数の定義を利用して $\log (x^{2} - 3 x) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = x^{2} - 3 x$

ステップ 2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式を $x^{2} - 3 x = 10^{1}$ として書き換えます。

$x^{2} - 3 x = 10$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

ステップ 2.4.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.4.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 2.4.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 2) = 0$

ステップ 2.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.4.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.4.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4.7

最終解は $(x - 5) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 2$

ステップ 3

$\log (x^{2} - 3 x) - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\log (x^{2} - 3 x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 3 x > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 3.2.2

$x$ を $x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 3 x = 0$

ステップ 3.2.2.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 3.2.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$x (x - 3) = 0$

ステップ 3.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.2.6

最終解は $x (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 3.2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 3.2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 3.2.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 3.2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 > 0$

ステップ 3.2.8.1.3

左辺 $10$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.8.2

区間 $0 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.1

区間 $0 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 3.2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{2} - 3 \cdot 2 > 0$

ステップ 3.2.8.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.2.8.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.2.8.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 3.2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{2} - 3 \cdot 6 > 0$

ステップ 3.2.8.3.3

左辺 $18$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 3.2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > 3$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (3, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\log (- 4) + \log ((- 4) - 3) \leq \log (10)$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

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ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.2

区間 $- 2 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $- 2 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$\log (- 1) + \log ((- 1) - 3) \leq \log (10)$

ステップ 5.2.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.2.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.3

区間 $0 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

区間 $0 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\log (2) + \log ((2) - 3) \leq \log (10)$

ステップ 5.3.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.3.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間 $3 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

区間 $3 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 5.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\log (4) + \log ((4) - 3) \leq \log (10)$

ステップ 5.4.3

左辺 $0.60205999$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.5

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.5.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 5.5.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\log (8) + \log ((8) - 3) \leq \log (10)$

ステップ 5.5.3

左辺 $1.60205999$ は右辺 $1$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 3$ 偽

$3 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 3$ 偽

$3 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$3 < x \leq 5$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$3 < x \leq 5$

区間記号：

$(3, 5]$

ステップ 8

代数 例

代数例