代数例

$- \frac{1}{4} x^{2} + 4 x + 1 \geq 1$

ステップ 1

$x^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$

ステップ 2

$- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ の各項に $4$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ の各項に $4$ を掛けます。

$- \frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.1

$- \frac{x^{2}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

ステップ 2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

ステップ 2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$- x^{2} + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

ステップ 2.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$- x^{2} + 16 x + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

ステップ 2.2.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 1 \cdot 4$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 4$

ステップ 3

不等式を方程式に変換します。

$- x^{2} + 16 x + 4 = 4$

ステップ 4

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} + 16 x + 4 - 4 = 0$

ステップ 5

$- x^{2} + 16 x + 4 - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1

$4$ から $4$ を引きます。

$- x^{2} + 16 x + 0 = 0$

ステップ 5.2

$- x^{2} + 16 x$ と $0$ をたし算します。

$- x^{2} + 16 x = 0$

ステップ 6

$- x$ を $- x^{2} + 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1

$- x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- x \cdot x + 16 x = 0$

ステップ 6.2

$- x$ を $16 x$ で因数分解します。

$- x \cdot x - x \cdot - 16 = 0$

ステップ 6.3

$- x$ を $- x (x) - x (- 16)$ で因数分解します。

$- x (x - 16) = 0$

ステップ 7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 16 = 0$

ステップ 8

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 9

$x - 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$x - 16$ が $0$ に等しいとします。

$x - 16 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$x = 16$

ステップ 10

最終解は $- x (x - 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 16$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 16$

$x > 16$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 1 \geq 1$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 8$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.2

区間 $0 < x < 16$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $0 < x < 16$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} \cdot {(2)}^{2} + 4 (2) + 1 \geq 1$

ステップ 12.2.3

左辺 $8$ は右辺 $1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.3

区間 $x > 16$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $x > 16$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 18$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $18$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} \cdot {(18)}^{2} + 4 (18) + 1 \geq 1$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 8$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 16$ 真

$x > 16$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 16$ 真

$x > 16$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$0 \leq x \leq 16$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 \leq x \leq 16$

区間記号：

$[0, 16]$

ステップ 15

代数 例

代数例