代数例

$f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ を方程式で書きます。

$y = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 y^{- \frac{5}{2}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ として書き換えます。

$3 y^{- \frac{5}{2}} = x$

ステップ 3.2

$3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y^{- \frac{5}{2}}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{5}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y^{\frac{5}{2}}, 3$

ステップ 3.3.2

$y^{\frac{5}{2}}, 3$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $1, 3$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $y^{\frac{5}{2}}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 3.3.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 3.3.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 3.3.5

$3$ には、 $1$ と $3$ 以外に因数がないため。

$3$ は素数です

ステップ 3.3.6

$1, 3$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$3$

ステップ 3.3.7

$y^{\frac{5}{2}}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$y^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.3.8

$y^{\frac{5}{2}}, 3$ の最小公倍数は数値部分 $3$ に変数部分を掛けたものです。

$3 y^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.4

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ の各項に $3 y^{\frac{5}{2}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ の各項に $3 y^{\frac{5}{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} (3 y^{\frac{5}{2}}) = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

ステップ 3.4.2.2

$3$ と $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

ステップ 3.4.2.3

$y^{\frac{5}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

ステップ 3.4.2.3.2

式を書き換えます。

$3 = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.4.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

共通因数を約分します。

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.4.3.2.2

式を書き換えます。

$3 = x y^{\frac{5}{2}}$

ステップ 3.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ として書き換えます。

$x y^{\frac{5}{2}} = 3$

ステップ 3.5.2

$x y^{\frac{5}{2}} = 3$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$x y^{\frac{5}{2}} = 3$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

ステップ 3.5.2.2.2

$y^{\frac{5}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{5}{2}} = \frac{3}{x}$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺を $\frac{2}{5}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 3.5.4

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1.1

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 3.5.4.1.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 3.5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 3.5.4.1.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 3.5.4.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 3.5.4.1.1.2

簡約します。

$y = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 3.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

積の法則を $\frac{3}{x}$ に当てはめます。

$y = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ が $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 x^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}))}^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.2.3.2

$3$ と $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ をまとめます。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}})}^{\frac{2}{5}}}$

ステップ 5.2.3.3

積の法則を $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}}$

ステップ 5.2.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

${(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

ステップ 5.2.3.4.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

ステップ 5.2.3.4.1.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

ステップ 5.2.3.4.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

ステップ 5.2.3.4.1.3.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

ステップ 5.2.3.4.2

簡約します。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

ステップ 5.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

ステップ 5.2.5

$3^{\frac{2}{5}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

ステップ 5.2.5.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})$ の値を求めます。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})}^{- \frac{5}{2}}$

ステップ 5.3.3

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

ステップ 5.3.4

積の法則を $\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}}$ に当てはめます。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{{(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

ステップ 5.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

ステップ 5.3.5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

ステップ 5.3.5.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

ステップ 5.3.5.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

ステップ 5.3.5.1.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

ステップ 5.3.5.2

簡約します。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

ステップ 5.3.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

${(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

ステップ 5.3.6.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

ステップ 5.3.6.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

ステップ 5.3.6.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

ステップ 5.3.6.1.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.6.2

指数を求めます。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ は $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

代数 例

代数例