代数例

$f (x) = | x + 2 |$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

絶対値の独立変数を $0$ に等しいとし、解を分割する可能性のある値を求めます。

$x + 2 = 0$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ について方程式を解きます。

$x = - 2$

ステップ 3.2

解の周りに区間を作り、 $x + 2$ が正と負になる場所を求めます。

$(- \infty, - 2), (- 2, \infty)$

ステップ 3.3

各区間から値を $x + 2$ に代入し、式が正または負になる場所を見つけます。

$\begin{array}{c} 区間 & 区間上の符号 \\ (- \infty, - 2) & - \\ (- 2, \infty) & + \end{array}$

ステップ 3.4

絶対値の独立変数を積分します。

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ステップ 3.4.1

絶対値の独立変数で積分を設定します。

$\int x + 2 d x$

ステップ 3.4.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x d x + \int 2 d x$

ステップ 3.4.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x$

ステップ 3.4.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C$

ステップ 3.4.5

簡約します。

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$

ステップ 3.5

独立変数が負になる区間上で積分の解に $- 1$ を掛けます。

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

ステップ 3.6

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

ステップ 3.7

簡約します。

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

ステップ 3.8

簡約します。

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

ステップ 4

関数の微分係数の積分から導かれるならば関数 $F$ です。これは微積分の基本定理によって有効です。

$F (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

代数 例

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