代数例

$125 a^{3} + 150 a^{2} b + 60 a b^{2} + 8 b^{3}$

ステップ 1

項を再分類します。

$125 a^{3} + 8 b^{3} + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 2

$125 a^{3}$ を ${(5 a)}^{3}$ に書き換えます。

${(5 a)}^{3} + 8 b^{3} + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 3

$8 b^{3}$ を ${(2 b)}^{3}$ に書き換えます。

${(5 a)}^{3} + {(2 b)}^{3} + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 4

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5 a$ であり、 $b = 2 b$ です。

$(5 a + 2 b) ({(5 a)}^{2} - (5 a) (2 b) + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $5 a$ に当てはめます。

$(5 a + 2 b) (5^{2} a^{2} - (5 a) (2 b) + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 5.2

$5$ を $2$ 乗します。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - (5 a) (2 b) + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 5.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 5 a (2 b) + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 5.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 5 \cdot 2 a b + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 5.5

$- 5$ に $2$ をかけます。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 5.6

積の法則を $2 b$ に当てはめます。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 2^{2} b^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 5.7

$2$ を $2$ 乗します。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

ステップ 6

$30 a b$ を $150 a^{2} b + 60 a b^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.1

$30 a b$ を $150 a^{2} b$ で因数分解します。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 30 a b (5 a) + 60 a b^{2}$

ステップ 6.2

$30 a b$ を $60 a b^{2}$ で因数分解します。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 30 a b (5 a) + 30 a b (2 b)$

ステップ 6.3

$30 a b$ を $30 a b (5 a) + 30 a b (2 b)$ で因数分解します。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 30 a b (5 a + 2 b)$

ステップ 7

$5 a + 2 b$ を $(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 30 a b (5 a + 2 b)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$5 a + 2 b$ を $30 a b (5 a + 2 b)$ で因数分解します。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + (5 a + 2 b) (30 a b)$

ステップ 7.2

$5 a + 2 b$ を $(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + (5 a + 2 b) (30 a b)$ で因数分解します。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2} + 30 a b)$

ステップ 8

$- 10 a b$ と $30 a b$ をたし算します。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} + 4 b^{2} + 20 a b)$

ステップ 9

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 9.1

項を並べ替えます。

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} + 20 a b + 4 b^{2})$

ステップ 9.2

$25 a^{2}$ を ${(5 a)}^{2}$ に書き換えます。

$(5 a + 2 b) ({(5 a)}^{2} + 20 a b + 4 b^{2})$

ステップ 9.3

$4 b^{2}$ を ${(2 b)}^{2}$ に書き換えます。

$(5 a + 2 b) ({(5 a)}^{2} + 20 a b + {(2 b)}^{2})$

ステップ 9.4

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$20 a b = 2 \cdot (5 a) \cdot (2 b)$

ステップ 9.5

多項式を書き換えます。

$(5 a + 2 b) ({(5 a)}^{2} + 2 \cdot (5 a) \cdot (2 b) + {(2 b)}^{2})$

ステップ 9.6

$a = 5 a$ と $b = 2 b$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(5 a + 2 b) {(5 a + 2 b)}^{2}$

代数 例

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