代数例

$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = {(\frac{3}{2})}^{y}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を ${(\frac{3}{2})}^{y} = x$ として書き換えます。

${(\frac{3}{2})}^{y} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({(\frac{3}{2})}^{y}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.3.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{3}{2})}^{y})$ を展開します。

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

ステップ 2.3.2

$\ln (\frac{3}{2})$ を $\ln (3) - \ln (2)$ に書き換えます。

$y (\ln (3) - \ln (2)) = \ln (x)$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

ステップ 2.5

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ の各項を $\ln (\frac{3}{2})$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ の各項を $\ln (\frac{3}{2})$ で割ります。

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$\ln (\frac{3}{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

ステップ 2.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ が $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})}{\ln (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.2.4

$\ln (\frac{3}{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = {(\frac{3}{2})}^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}$

ステップ 4.3.3

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = \frac{3^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}{2^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ は $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

代数 例

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