代数例

$y = \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + 3$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = 3$

ステップ 1.2

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 1, 3)$

ステップ 1.4

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.4.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.4.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 1.4.3

簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 1.4.3.2

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2}$

ステップ 1.5

焦点を求めます。

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ステップ 1.5.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.5.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 1, \frac{7}{2})$

ステップ 1.6

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.7

準線を求めます。

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ステップ 1.7.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.7.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{5}{2}$

ステップ 1.8

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- 1, 3)$

焦点： $(- 1, \frac{7}{2})$

対称軸： $x = - 1$

準線： $y = \frac{5}{2}$

方向：上に開

頂点： $(- 1, 3)$

焦点： $(- 1, \frac{7}{2})$

対称軸： $x = - 1$

準線： $y = \frac{5}{2}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - 3 + \frac{7}{2}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - 3 + \frac{7}{2}$

ステップ 2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = - 3 + \frac{{(- 3)}^{2} + 7}{2}$

ステップ 2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - 3 + \frac{9 + 7}{2}$

ステップ 2.2.3.2

$9$ と $7$ をたし算します。

$f (- 3) = - 3 + \frac{16}{2}$

ステップ 2.2.3.3

$16$ を $2$ で割ります。

$f (- 3) = - 3 + 8$

ステップ 2.2.3.4

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$f (- 3) = 5$

ステップ 2.2.4

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 2.3

$x = - 3$ における $y$ 値は $5$ です。

$y = 5$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 + \frac{7}{2}$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

括弧を削除します。

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 + \frac{7}{2}$

ステップ 2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- 2) = - 2 + \frac{{(- 2)}^{2} + 7}{2}$

ステップ 2.5.3

式を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = - 2 + \frac{4 + 7}{2}$

ステップ 2.5.3.2

$4$ と $7$ をたし算します。

$f (- 2) = - 2 + \frac{11}{2}$

ステップ 2.5.4

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2}$

ステップ 2.5.5

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (- 2) = \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{11}{2}$

ステップ 2.5.6

公分母の分子をまとめます。

$f (- 2) = \frac{- 2 \cdot 2 + 11}{2}$

ステップ 2.5.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.7.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (- 2) = \frac{- 4 + 11}{2}$

ステップ 2.5.7.2

$- 4$ と $11$ をたし算します。

$f (- 2) = \frac{7}{2}$

ステップ 2.5.8

最終的な答えは $\frac{7}{2}$ です。

$\frac{7}{2}$

ステップ 2.6

$x = - 2$ における $y$ 値は $\frac{7}{2}$ です。

$y = \frac{7}{2}$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{7}{2}$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

括弧を削除します。

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{7}{2}$

ステップ 2.8.2

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = 1 + \frac{{(1)}^{2} + 7}{2}$

ステップ 2.8.3

式を簡約します。

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ステップ 2.8.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 + \frac{1 + 7}{2}$

ステップ 2.8.3.2

$1$ と $7$ をたし算します。

$f (1) = 1 + \frac{8}{2}$

ステップ 2.8.3.3

$8$ を $2$ で割ります。

$f (1) = 1 + 4$

ステップ 2.8.3.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$f (1) = 5$

ステップ 2.8.4

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 2.9

$x = 1$ における $y$ 値は $5$ です。

$y = 5$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 + \frac{7}{2}$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

括弧を削除します。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 + \frac{7}{2}$

ステップ 2.11.2

公分母の分子をまとめます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 7}{2}$

ステップ 2.11.3

式を簡約します。

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ステップ 2.11.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0 + 7}{2}$

ステップ 2.11.3.2

$0$ と $7$ をたし算します。

$f (0) = \frac{7}{2}$

ステップ 2.11.4

最終的な答えは $\frac{7}{2}$ です。

$\frac{7}{2}$

ステップ 2.12

$x = 0$ における $y$ 値は $\frac{7}{2}$ です。

$y = \frac{7}{2}$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 5 \\ - 2 & \frac{7}{2} \\ - 1 & 3 \\ 0 & \frac{7}{2} \\ 1 & 5 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- 1, 3)$

焦点： $(- 1, \frac{7}{2})$

対称軸： $x = - 1$

準線： $y = \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 5 \\ - 2 & \frac{7}{2} \\ - 1 & 3 \\ 0 & \frac{7}{2} \\ 1 & 5 \end{array}$

ステップ 4

代数 例

代数例