代数例

$\sqrt{x^{2} - 2 x} < \sqrt{3 x + 6}$

ステップ 1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} - 2 x}}^{2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

ステップ 2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 2 x}$ を ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - 2 x)}^{1} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${\sqrt{3 x + 6}}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$3$ を $3 x + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 (x) + 6}}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 x + 3 \cdot 2}}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 (x + 2)}}^{2}$

ステップ 2.3.1.2

${\sqrt{3 (x + 2)}}^{2}$ を $3 (x + 2)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 (x + 2)}$ を ${(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} - 2 x < {({(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{1}$

ステップ 2.3.1.2.5

簡約します。

$x^{2} - 2 x < 3 (x + 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 2 x < 3 x + 3 \cdot 2$

ステップ 2.3.1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$x^{2} - 2 x < 3 x + 6$

ステップ 3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

不等式の両辺から $3 x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 3 x < 6$

ステップ 3.1.2

$- 2 x$ から $3 x$ を引きます。

$x^{2} - 5 x < 6$

ステップ 3.2

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 5 x = 6$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

ステップ 3.4

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 6, 1$

ステップ 3.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 6) (x + 1) = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 3.6

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3.7

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.8

最終解は $(x - 6) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, - 1$

ステップ 4

$\sqrt{x (x - 2)} - \sqrt{3 (x + 2)}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt{x (x - 2)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x (x - 2) \geq 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.2.4

最終解は $x (x - 2) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 4.2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 4.2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 4.2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$(- 2) ((- 2) - 2) \geq 0$

ステップ 4.2.6.1.3

左辺 $8$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.2.6.2

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 4.2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$(1) ((1) - 2) \geq 0$

ステップ 4.2.6.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.2.6.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 4.2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$(4) ((4) - 2) \geq 0$

ステップ 4.2.6.3.3

左辺 $8$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.2.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 4.2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq 0$ または $x \geq 2$

ステップ 4.3

$\sqrt{3 (x + 2)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$3 (x + 2) \geq 0$

ステップ 4.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$3 (x + 2) \geq 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

$3 (x + 2) \geq 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 4.4.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 4.4.1.2.1.2

$x + 2$ を $1$ で割ります。

$x + 2 \geq \frac{0}{3}$

ステップ 4.4.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x + 2 \geq 0$

ステップ 4.4.2

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$x \geq - 2$

ステップ 4.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 2, 0] \cup [2, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4} < \sqrt{3 (- 4) + 6}$

ステップ 6.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.2

区間 $- 2 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

区間 $- 2 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1.5$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1.5$ で置き換えます。

$\sqrt{{(- 1.5)}^{2} - 2 \cdot - 1.5} < \sqrt{3 (- 1.5) + 6}$

ステップ 6.2.3

左辺 $2.29128784$ は右辺 $1.22474487$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.3

区間 $- 1 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

区間 $- 1 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.5$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

$\sqrt{{(- 0.5)}^{2} - 2 \cdot - 0.5} < \sqrt{3 (- 0.5) + 6}$

ステップ 6.3.3

左辺 $1.11803398$ は右辺 $2.12132034$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.4

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\sqrt{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1} < \sqrt{3 (1) + 6}$

ステップ 6.4.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.5

区間 $2 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

区間 $2 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 6.5.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\sqrt{{(4)}^{2} - 2 \cdot 4} < \sqrt{3 (4) + 6}$

ステップ 6.5.3

左辺 $2.82842712$ は右辺 $4.24264068$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.6

区間 $x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

区間 $x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 6.6.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\sqrt{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8} < \sqrt{3 (8) + 6}$

ステップ 6.6.3

左辺 $6.92820323$ は右辺 $5.47722557$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.7

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 0$ 真

$0 < x < 2$ 偽

$2 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 0$ 真

$0 < x < 2$ 偽

$2 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < 0$ または $2 < x < 6$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 1 < x < 0 or 2 < x < 6$

区間記号：

$(- 1, 0) \cup (2, 6)$

ステップ 9

代数 例

代数例