代数例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 21 x^{2} + 100 x - 100$

ステップ 1

項を再分類します。

$f (x) = - 4 x^{3} + 100 x + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

ステップ 2

$- 4 x$ を $- 4 x^{3} + 100 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$- 4 x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} + 100 x + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

ステップ 2.2

$- 4 x$ を $100 x$ で因数分解します。

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 25 + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

ステップ 2.3

$- 4 x$ を $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 25)$ で因数分解します。

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 25) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

ステップ 3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 5^{2}) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

ステップ 4

因数分解。

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ステップ 4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$f (x) = - 4 x ((x + 5) (x - 5)) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

ステップ 4.2

不要な括弧を削除します。

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + x^{4} - 21 x^{2} - 100$

ステップ 5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} - 100$

ステップ 6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + u^{2} - 21 u - 100$

ステップ 7

たすき掛けを利用して $u^{2} - 21 u - 100$ を因数分解します。

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ステップ 7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 100$ で、その和が $- 21$ です。

$- 25, 4$

ステップ 7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (u - 25) (u + 4)$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 25) (x^{2} + 4)$

ステップ 9

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 4)$

ステップ 10

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$f (x) = - 4 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$

ステップ 11

$(x + 5) (x - 5)$ を $- 4 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$ で因数分解します。

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ステップ 11.1

$(x + 5) (x - 5)$ を $- 4 x (x + 5) (x - 5)$ で因数分解します。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 4 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$

ステップ 11.2

$(x + 5) (x - 5)$ を $(x + 5) (x - 5) (- 4 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 4)$ で因数分解します。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 4 x + x^{2} + 4)$

ステップ 12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 4 u + u^{2} + 4)$

ステップ 13

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 13.1

項を並べ替えます。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (u^{2} - 4 u + 4)$

ステップ 13.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (u^{2} - 4 u + 2^{2})$

ステップ 13.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

ステップ 13.4

多項式を書き換えます。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

ステップ 13.5

$a = u$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) {(u - 2)}^{2}$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$f (x) = (x + 5) (x - 5) {(x - 2)}^{2}$

代数 例

代数例