代数例

$y = \sqrt{x^{2} - 4}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{y^{2} - 4}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\sqrt{y^{2} - 4} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$

ステップ 2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y^{2} - 4}}^{2} = x^{2}$

ステップ 2.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y^{2} - 4}$ を ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y^{2} - 4)}^{1} = x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

簡約します。

$y^{2} - 4 = x^{2}$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y^{2} = x^{2} + 4$

ステップ 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$

ステップ 2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

ステップ 2.4.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

ステップ 2.4.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ が $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ の値域を求めます。

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ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

ステップ 4.3

$\sqrt{x^{2} + 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt{x^{2} + 4}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 4 \geq 0$

ステップ 4.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.2.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} \geq - 4$

ステップ 4.3.2.2

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 4.3.3

定義域はすべての実数です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ の定義域が $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ は $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 5

代数 例

代数例