代数例

$\frac{8 x^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \div \frac{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{8 x^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$8 x^{3}$ を ${(2 x)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 x)}^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2.2

$125 y^{3}$ を ${(5 y)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 x)}^{3} - {(5 y)}^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 5 y$ です。

$\frac{(2 x - (5 y)) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2.4.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\frac{(2 x - 5 y) (2^{2} x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 \cdot 5 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2.4.5

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2.4.6

積の法則を $5 y$ に当てはめます。

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 5^{2} y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 2.4.7

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}$ を $(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{(4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}) (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{(4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}) (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x - 5 y}{{(2 x + 5 y)}^{3}} (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2})$

ステップ 3.2

$\frac{2 x - 5 y}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$ に $4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}$ をかけます。

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

ステップ 4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 20 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

ステップ 4.2

$25 y^{2}$ を ${(5 y)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 20 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

ステップ 4.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$20 x y = 2 \cdot (2 x) \cdot (5 y)$

ステップ 4.4

多項式を書き換えます。

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

ステップ 4.5

$a = 2 x$ と $b = 5 y$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(2 x - 5 y) {(2 x + 5 y)}^{2}}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

ステップ 5

${(2 x + 5 y)}^{2}$ と ${(2 x + 5 y)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

${(2 x + 5 y)}^{2}$ を $(2 x - 5 y) {(2 x + 5 y)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

${(2 x + 5 y)}^{2}$ を ${(2 x + 5 y)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x + 5 y)}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x + 5 y)}$

ステップ 5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x - 5 y}{2 x + 5 y}$

代数 例

代数例