代数例

$\log_{x - 3} (36) > 2$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log_{x - 3} (36) = 2$

ステップ 2

方程式を解きます。

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ステップ 2.1

対数の定義を利用して $\log_{x - 3} (36) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

${(x - 3)}^{2} = 36$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x - 3 = \pm \sqrt{36}$

ステップ 2.2.2

$\pm \sqrt{36}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x - 3 = \pm \sqrt{6^{2}}$

ステップ 2.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x - 3 = \pm 6$

ステップ 2.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x - 3 = 6$

ステップ 2.2.3.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 6 + 3$

ステップ 2.2.3.2.2

$6$ と $3$ をたし算します。

$x = 9$

ステップ 2.2.3.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x - 3 = - 6$

ステップ 2.2.3.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.2.3.4.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = - 6 + 3$

ステップ 2.2.3.4.2

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$x = - 3$

ステップ 2.2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 9, - 3$

ステップ 3

$\log_{x - 3} (36) - 2$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\log_{x - 3} (36)$ の底辺を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x - 3 > 0$

ステップ 3.2

不等式の両辺に $3$ を足します。

$x > 3$

ステップ 3.3

$\log_{x - 3} (36)$ の底辺を $1$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 3 = 1$

ステップ 3.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 1 + 3$

ステップ 3.4.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$x = 4$

ステップ 3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(3, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\log_{(- 6) - 3} (36) > 2$

ステップ 5.1.3

負の数の対数は未定義です。

未定義

ステップ 5.2

区間 $- 3 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $- 3 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\log_{(0) - 3} (36) > 2$

ステップ 5.2.3

負の数の対数は未定義です。

未定義

ステップ 5.3

区間 $3 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.3.1

区間 $3 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3.5$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $3.5$ で置き換えます。

$\log_{(3.5) - 3} (36) > 2$

ステップ 5.3.3

左辺 $- 5.169925$ は右辺 $2$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間 $4 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.4.1

区間 $4 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 5.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\log_{(6) - 3} (36) > 2$

ステップ 5.4.3

左辺 $3.2618595$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.5

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.5.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 5.5.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$\log_{(12) - 3} (36) > 2$

ステップ 5.5.3

左辺 $1.63092975$ は右辺 $2$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ Undefined

$- 3 < x < 3$ Undefined

$3 < x < 4$ 偽

$4 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

未定義

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$4 < x < 9$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$4 < x < 9$

区間記号：

$(4, 9)$

ステップ 8

代数 例

代数例