代数例

$f (x) = 3 \sqrt[3]{x}$

ステップ 1

$f (x) = 3 \sqrt[3]{x}$ を方程式で書きます。

$y = 3 \sqrt[3]{x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 \sqrt[3]{y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 \sqrt[3]{y} = x$ として書き換えます。

$3 \sqrt[3]{y} = x$

ステップ 3.2

$3 \sqrt[3]{y} = x$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3 \sqrt[3]{y} = x$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \sqrt[3]{y}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt[3]{y}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sqrt[3]{y}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt[3]{y} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(\frac{x}{3})}^{3}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y}$ を $y^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{3})}^{3}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3})}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3})}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\frac{x}{3})}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$y = {(\frac{x}{3})}^{3}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

${(\frac{x}{3})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

積の法則を $\frac{x}{3}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{3^{3}}$

ステップ 3.4.3.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{27}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27}$ が $f (x) = 3 \sqrt[3]{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x})}^{3}}{27}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

積の法則を $3 \sqrt[3]{x}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{3^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}{27}$

ステップ 5.2.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{27 {\sqrt[3]{x}}^{3}}{27}$

ステップ 5.2.3.3

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{27}$

ステップ 5.2.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{27}$

ステップ 5.2.3.3.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{27 x^{\frac{3}{3}}}{27}$

ステップ 5.2.3.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{27 x^{\frac{3}{3}}}{27}$

ステップ 5.2.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{27 x}{27}$

ステップ 5.2.3.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{27 x}{27}$

ステップ 5.2.4

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = \frac{27 x}{27}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{3}}{27})$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{3}}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27}}$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (\frac{x^{3}}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27}}$

ステップ 5.3.4

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3^{3}}}$

ステップ 5.3.5

$\frac{x^{3}}{3^{3}}$ を ${(\frac{x}{3})}^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{27}) = 3 \sqrt[3]{{(\frac{x}{3})}^{3}}$

ステップ 5.3.6

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{3}}{27}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{3}}{27}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{27}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27}$ は $f (x) = 3 \sqrt[3]{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27}$

代数 例

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