代数例

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

ステップ 1

$x = r \cos (θ)$ なので、 $x$ を $r \cos (θ)$ で置き換えます。

${(r \cos (θ))}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

ステップ 2

$y = r \sin (θ)$ なので、 $y$ を $r \sin (θ)$ で置き換えます。

${(r \cos (θ))}^{2} + {((r \sin (θ)) - 1)}^{2} = 1$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

${(r \cos (θ))}^{2} + {((r \sin (θ)) - 1)}^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $r \cos (θ)$ に当てはめます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + {((r \sin (θ)) - 1)}^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.2

${(r \sin (θ) - 1)}^{2}$ を $(r \sin (θ) - 1) (r \sin (θ) - 1)$ に書き換えます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + (r \sin (θ) - 1) (r \sin (θ) - 1) - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(r \sin (θ) - 1) (r \sin (θ) - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (r \sin (θ) - 1) - 1 (r \sin (θ) - 1) - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 1 - 1 (r \sin (θ) - 1) - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 1 - 1 (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.4.1.1

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.4.1.1.1

$r$ を移動させます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot - 1 - 1 (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.1.1.2

$r$ に $r$ をかけます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot - 1 - 1 (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.1.2

$r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.4.1.2.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 1 - 1 (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.1.2.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 1 - 1 (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot - 1 - 1 (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot - 1 - 1 (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.1.3

$- 1$ を $r \sin (θ)$ の左に移動させます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 1 \cdot (r \sin (θ)) - 1 (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.1.4

$- 1 (r \sin (θ))$ を $- (r \sin (θ))$ に書き換えます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - (r \sin (θ)) - 1 (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.1.5

$- 1 (r \sin (θ))$ を $- (r \sin (θ))$ に書き換えます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - r \sin (θ) - (r \sin (θ)) - 1 \cdot - 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - r \sin (θ) - r \sin (θ) + 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.4.2

$- r \sin (θ)$ から $r \sin (θ)$ を引きます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 2 r \sin (θ) + 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 2 r \sin (θ) + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.2.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 2 r \sin (θ) + 0 = 0$

ステップ 3.2.2.1.2

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 2 r \sin (θ)$ と $0$ をたし算します。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 2 r \sin (θ) = 0$

ステップ 3.2.2.2

$r^{2}$ を $r^{2} \cos^{2} (θ)$ で因数分解します。

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 2 r \sin (θ) = 0$

ステップ 3.2.2.3

$r^{2}$ を $r^{2} \sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 2 r \sin (θ) = 0$

ステップ 3.2.2.4

$r^{2}$ を $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ で因数分解します。

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 2 r \sin (θ) = 0$

ステップ 3.2.3

項を並べ替えます。

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 2 r \sin (θ) = 0$

ステップ 3.2.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$r^{2} \cdot 1 - 2 r \sin (θ) = 0$

ステップ 3.2.5

$r^{2}$ に $1$ をかけます。

$r^{2} - 2 r \sin (θ) = 0$

ステップ 3.3

$r$ を $r^{2} - 2 r \sin (θ)$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$r$ を $r^{2}$ で因数分解します。

$r \cdot r - 2 r \sin (θ) = 0$

ステップ 3.3.2

$r$ を $- 2 r \sin (θ)$ で因数分解します。

$r \cdot r + r (- 2 \sin (θ)) = 0$

ステップ 3.3.3

$r$ を $r \cdot r + r (- 2 \sin (θ))$ で因数分解します。

$r (r - 2 \sin (θ)) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r = 0$

$r - 2 \sin (θ) = 0$

ステップ 3.5

$r$ が $0$ に等しいとします。

$r = 0$

ステップ 3.6

$r - 2 \sin (θ)$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$r - 2 \sin (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$r - 2 \sin (θ) = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $2 \sin (θ)$ を足します。

$r = 2 \sin (θ)$

ステップ 3.7

最終解は $r (r - 2 \sin (θ)) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = 0$

$r = 2 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 2 \sin (θ)$

代数 例

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