代数例

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 1

$\cos^{2} (θ)$ を $1 - \sin^{2} (θ)$ で置き換えます。

$\sin (θ) \cot (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

$\sin (θ)$ と $\cot (θ)$ を並べ替えます。

$\cot (θ) \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\sin (θ) \cot (θ)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

ステップ 2.1.3

共通因数を約分します。

$\cos (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

ステップ 2.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 3

$\cos (θ)$ を $\cos (θ) - \cos^{2} (θ)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$\cos (θ)$ を $\cos^{1} (θ)$ で因数分解します。

$\cos (θ) \cdot 1 - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 3.2

$\cos (θ)$ を $- \cos^{2} (θ)$ で因数分解します。

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ)) = 0$

ステップ 3.3

$\cos (θ)$ を $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))$ で因数分解します。

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

ステップ 5

$\cos (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cos (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (θ) = 0$

ステップ 5.2

$θ$ について $\cos (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$θ = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$1 - \cos (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 6.1

$1 - \cos (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$1 - \cos (θ) = 0$

ステップ 6.2

$θ$ について $1 - \cos (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \cos (θ) = - 1$

ステップ 6.2.2

$- \cos (θ) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$- \cos (θ) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2.2

$\cos (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\cos (θ) = 1$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (1)$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 6.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - 0$

ステップ 6.2.6

$2 π$ から $0$ を引きます。

$θ = 2 π$

ステップ 6.2.7

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.8

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

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ステップ 8.1

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

$2 π + 2 π n$ と $2 π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$ が真にならない解を除外します。

$θ = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ 、任意の整数 $n$

代数 例

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