三角関数例

${(z + 3)}^{3} = 2 i$

ステップ 1

$u$ を $z + 3$ に代入します。

$u^{3} = 2 i$

ステップ 2

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 3

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4

$a = 0$ と $b = 2$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 2$

ステップ 6

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

ステップ 7

偏角が未定義で $b$ が正なので、複素平面上の点の角は $\frac{π}{2}$ です。

$θ = \frac{π}{2}$

ステップ 8

$θ = \frac{π}{2}$ と $| z | = 2$ の値を代入します。

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 9

方程式の右辺を三角公式で置き換えます。

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 10

ドモアブルの定理を利用して方程式の $u$ を求めます。

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 11

三角形の係数を $r^{3}$ と等しくし、 $r$ の値を求めます。

$r^{3} = 2$

ステップ 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

ステップ 13

$r$ の近似値を求めます。

$r = 1.25992104$

ステップ 14

$θ$ の可能な値を求めます。

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ と $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

ステップ 15

$θ$ のすべての可能な値を求めることで方程式 $3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ を導きます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

ステップ 16

$r = 0$ の $θ$ の値を求めます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

ステップ 17

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$2 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

ステップ 17.1.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

ステップ 17.1.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 θ = \frac{π}{2}$

ステップ 17.2

$3 θ = \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$3 θ = \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 17.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 17.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 17.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 17.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 17.2.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$θ = \frac{π}{6}$

ステップ 18

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{3} = 2 i$ の解を求めます。

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 19

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

ステップ 19.1.3

$i$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

ステップ 19.2

分配則を当てはめます。

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

ステップ 19.3

$1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

$1.25992104$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

ステップ 19.3.2

$1.25992104$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

ステップ 19.4

$1.25992104$ と $\frac{i}{2}$ をまとめます。

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

ステップ 19.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.5.1

$2.18224727$ を $2$ で割ります。

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

ステップ 19.5.2

$1.25992104$ を $1.25992104 i$ で因数分解します。

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

ステップ 19.5.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

ステップ 19.5.4

分数を分解します。

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

ステップ 19.5.5

$1.25992104$ を $2$ で割ります。

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

ステップ 19.5.6

$i$ を $1$ で割ります。

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

ステップ 20

$z + 3$ を $u$ に代入し、左方移動した後に $z$ の値を計算します。

$z_{0} = - 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

ステップ 21

$r = 1$ の $θ$ の値を求めます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

ステップ 22

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 22.1.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 22.1.3

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

ステップ 22.1.4

公分母の分子をまとめます。

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

ステップ 22.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

ステップ 22.1.6

$π$ と $4 π$ をたし算します。

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

ステップ 22.2

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

ステップ 22.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

ステップ 22.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

ステップ 22.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 22.2.3.2

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.3.2.1

$\frac{5 π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

ステップ 22.2.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$θ = \frac{5 π}{6}$

ステップ 23

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{3} = 2 i$ の解を求めます。

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 24

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 24.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 24.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 24.1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

ステップ 24.1.5

$i$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

ステップ 24.2

分配則を当てはめます。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

ステップ 24.3

$1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.3.1

$- 1$ に $1.25992104$ をかけます。

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

ステップ 24.3.2

$- 1.25992104$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

ステップ 24.3.3

$- 1.25992104$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

ステップ 24.4

$1.25992104$ と $\frac{i}{2}$ をまとめます。

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

ステップ 24.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.5.1

$- 2.18224727$ を $2$ で割ります。

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

ステップ 24.5.2

$1.25992104$ を $1.25992104 i$ で因数分解します。

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

ステップ 24.5.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

ステップ 24.5.4

分数を分解します。

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

ステップ 24.5.5

$1.25992104$ を $2$ で割ります。

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

ステップ 24.5.6

$i$ を $1$ で割ります。

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

ステップ 25

$z + 3$ を $u$ に代入し、左方移動した後に $z$ の値を計算します。

$z_{1} = - 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

ステップ 26

$r = 2$ の $θ$ の値を求めます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

ステップ 27

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

ステップ 27.1.2

$4 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 27.1.3

$4 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

ステップ 27.1.4

公分母の分子をまとめます。

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

ステップ 27.1.5

$2$ に $4$ をかけます。

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

ステップ 27.1.6

$π$ と $8 π$ をたし算します。

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

ステップ 27.2

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

ステップ 27.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

ステップ 27.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

ステップ 27.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 27.2.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.3.2.1

$3$ を $9 π$ で因数分解します。

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 27.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 27.2.3.2.3

式を書き換えます。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 28

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{3} = 2 i$ の解を求めます。

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 29

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 29.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

ステップ 29.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

ステップ 29.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

ステップ 29.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

ステップ 29.1.6

$- 1$ を $i$ の左に移動させます。

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

ステップ 29.1.7

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

ステップ 29.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.2.1

$0$ から $i$ を引きます。

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

ステップ 29.2.2

$- 1$ に $1.25992104$ をかけます。

$u_{2} = - 1.25992104 i$

ステップ 30

$z + 3$ を $u$ に代入し、左方移動した後に $z$ の値を計算します。

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

ステップ 31

$u^{3} = 2 i$ の複素解です。

$z_{0} = - 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{1} = - 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

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