例

${(a + b + c)}^{3}$

ステップ 1

三項展開定理を利用して各項を求めます。三項定理は ${}_{n}C_{m} {}_{m}C_{k} = \frac{n!}{(n - m)! (m - k)! k!}$ のとき ${(a + b + c)}^{n} = \sum_{m = 0}^{n} \sum_{k = 0}^{m} {}_{n}C_{m} {}_{m}C_{k} a^{n - m} b^{m - k} c^{k}$ を述べたものです。

$\sum_{m = 0}^{3} \sum_{k = 0}^{m} \frac{3!}{(3 - m)! (m - k)! k!} a^{3 - m} b^{m - k} c^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{3!}{(3 + 0)! (0 + 0)! 0!} a^{3 - 0} b^{0 - 0} c^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! (1 + 0)! 0!} a^{3 - 1 \cdot 1} b^{1 - 0} c^{0} + \dots + \frac{3!}{(3 - 3)! (3 - 3)! 3!} a^{3 - 1 \cdot 3} b^{3 - 1 \cdot 3} c^{3}$

ステップ 3

結果を簡約します。

$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} + 6 a b c + 3 a c^{2} + b^{3} + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + c^{3}$

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