線形代数例

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

ステップ 1

$ℂ^{n}$ における2つのベクトル $u⃗$ と $v⃗$ の距離を $| | u⃗ - v⃗ | |$ と定義し、差分 $u⃗ - v⃗$ のユークリッドノルムであると定義します。

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

ステップ 2

$u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ と $v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ となる差 $u⃗ - v⃗$ のノルムを求めます。

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ステップ 2.1

差分のベクトルを作成します。

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

ステップ 2.2

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 i - 3$ から $0$ を引きます。

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.2

項を並べ替えます。

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.3

公式 $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して大きさを求めます。

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.5

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.6

$9$ と $4$ をたし算します。

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.7

${\sqrt{13}}^{2}$ を $13$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{13}$ を $13^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.7.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.7.5

指数を求めます。

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.8

$0$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.9

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

ステップ 2.3.10

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.10.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

ステップ 2.3.10.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

ステップ 2.3.10.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

ステップ 2.3.10.4

$i$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

ステップ 2.3.11

$2$ から $2$ を引きます。

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

ステップ 2.3.12

$0$ と $i$ をたし算します。

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

ステップ 2.3.13

公式 $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して大きさを求めます。

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

ステップ 2.3.14

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

ステップ 2.3.15

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

ステップ 2.3.16

$0$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

ステップ 2.3.17

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

ステップ 2.3.18

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

ステップ 2.3.19

$13$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{14 + 1}$

ステップ 2.3.20

$14$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{15}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\sqrt{15}$

10進法形式：

$3.87298334 \dots$

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