微分積分例

$\int x \sin (4 x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (4 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos (4 x)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{\cos (4 x)}{4}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

ステップ 4

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

ステップ 5

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 5.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

ステップ 6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

ステップ 8

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ステップ 8.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

ステップ 8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

ステップ 9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

ステップ 10

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ステップ 10.1

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ を $- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

ステップ 10.2

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ステップ 10.2.1

$x$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

ステップ 10.2.2

$\cos (4 x)$ と $\frac{x}{4}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

ステップ 12

$\frac{\cos (4 x) x}{4}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

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