微分積分例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

ステップ 1

級数が収束するかどうかを判別するには、数列の積分が収束するかどうかを判別します。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x)]_{1}^{t}$ です。

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$t$ および $1$ で $\arctan (x)$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

ステップ 5.2

括弧を削除します。

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

ステップ 6.2

$t$ が $\infty$ に近づくときの極限は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

ステップ 6.3

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $\arctan (1)$ の極限値を求めます。

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

ステップ 6.4

答えを簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.4.2

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.4.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.4.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

ステップ 6.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.5.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

ステップ 6.4.5.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{π}{4}$

ステップ 7

積分が収束するので、級数は収束します。

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