微分積分例

$y = x + 4 x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x + 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 4 (2 x)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$1 + 8 x$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$8 x + 1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 8 x + 1$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 1$

ステップ 6

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$8 x = - 1$

ステップ 6.2

$8 x = - 1$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$8 x = - 1$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

ステップ 6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{8}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{8}$

ステップ 7

$y$ について解きます。

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ステップ 7.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{8} + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

ステップ 7.2

括弧を削除します。

$y = (- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

ステップ 7.3

$(- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 7.3.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{8}$ に当てはめます。

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})$

ステップ 7.3.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{8}$ に当てはめます。

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})$

ステップ 7.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = - \frac{1}{8} + 4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})$

ステップ 7.3.1.3

$\frac{1^{2}}{8^{2}}$ に $1$ をかけます。

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1^{2}}{8^{2}}$

ステップ 7.3.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{8^{2}}$

ステップ 7.3.1.5

$8$ を $2$ 乗します。

$y = - \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{64})$

ステップ 7.3.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.6.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

ステップ 7.3.1.6.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

ステップ 7.3.1.6.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

ステップ 7.3.2

$- \frac{1}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

ステップ 7.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.3.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

ステップ 7.3.3.2

$8$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

ステップ 7.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 2 + 1}{16}$

ステップ 7.3.5

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{- 1}{16}$

ステップ 7.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{16}$

ステップ 8

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{16})$

ステップ 9

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