微分積分例

$y = x^{4} - 8 x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 8 x^{2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

ステップ 3.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} - 16 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 4 x^{3} - 16 x$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 16 x$

ステップ 6

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

ステップ 6.1.1.2

$4 x$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

ステップ 6.1.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 6.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 6.1.3

因数分解。

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ステップ 6.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 6.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 6.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6.6

最終解は $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 7

$y$ について解きます。

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ステップ 7.1

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2}$

ステップ 7.2

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$

ステップ 7.3

$0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$ を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 8 \cdot 0^{2}$

ステップ 7.3.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 8 \cdot 0$

ステップ 7.3.1.3

$- 8$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0$

ステップ 7.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0$

ステップ 8

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$y = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

ステップ 8.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = 16 - 8 \cdot 4$

ステップ 8.1.3

$- 8$ に $4$ をかけます。

$y = 16 - 32$

ステップ 8.2

$16$ から $32$ を引きます。

$y = - 16$

ステップ 9

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(0, 0)$

$(- 2, - 16)$

$(2, - 16)$

ステップ 10

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