代数例

$x - y = 4$ , $4 x - y = - 5$

ステップ 1

点 $(p, q, r)$ を通り平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ に垂直な線と平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ の交点を求めるために：

1. 法線ベクトルが $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ および $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ である平面 $P_{1}$ および平面 $P_{2}$ の法線ベクトルを求めます。ドット積が0か確認します。

2. $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、 $z = r + c t$ などの媒介変数方程式の集合を作成します。

3. これらの方程式を $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ であるような平面 $P_{2}$ の方程式に代入し、 $t$ を解きます。

4. $t$ の値を利用して $t$ について、媒介変数方程式 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、および $z = r + c t$ を解き、交点 $(x, y, z)$ を求めます。

ステップ 2

各面の法線ベクトルを求め、そのドット積を計算して垂直かどうかを判定します。

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ステップ 2.1

$P_{1}$ は $x - y = 4$ です。式 $a x + b y + c z = d$ 平面の方程式から法線ベクトル $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ を求めます。

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

ステップ 2.2

$P_{2}$ は $4 x - y = - 5$ です。式 $e x + f y + g z = h$ 平面の方程式から法線ベクトル $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ を求めます。

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

ステップ 2.3

$n_{1}$ と $n_{2}$ のドット積を、法線ベクトルの対応する $x$ 、 $y$ 、 $z$ の値の積を合計し計算します。

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4

ドット積を簡約します。

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ステップ 2.4.1

括弧を削除します。

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4.2.3

$0$ に $0$ をかけます。

$4 + 1 + 0$

ステップ 2.4.3

数を加えて簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$4$ と $1$ をたし算します。

$5 + 0$

ステップ 2.4.3.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$5$

ステップ 3

次に、点 $(p, q, r)$ に対する原点 $(0, 0, 0)$ と、 $a$ 、 $b$ 、および $c$ の値に対する法線ベクトル $5$ の値を利用して媒介変数方程式 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、および $z = r + c t$ の集合を作成します。この媒介変数方程式の集合、 $P_{1}$ $x - y = 4$ に垂直な原点を通る線を表します。

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

ステップ 4

$x$ 、 $y$ 、および $z$ の値を標準形の方程式 $P_{2}$ $4 x - y = - 5$ に代入します。

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

ステップ 5

$t$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1.1

$0$ と $1 \cdot t$ をたし算します。

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

ステップ 5.1.1.2

$0$ から $1 \cdot t$ を引きます。

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

ステップ 5.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$t$ に $1$ をかけます。

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

ステップ 5.1.2.2

$- 1 t$ を $- t$ に書き換えます。

$4 t - - t = - 5$

ステップ 5.1.2.3

$- - t$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 t + 1 t = - 5$

ステップ 5.1.2.3.2

$t$ に $1$ をかけます。

$4 t + t = - 5$

ステップ 5.1.3

$4 t$ と $t$ をたし算します。

$5 t = - 5$

ステップ 5.2

$5 t = - 5$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$5 t = - 5$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

ステップ 5.2.2.1.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{- 5}{5}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 5$ を $5$ で割ります。

$t = - 1$

ステップ 6

$t$ の値を利用して $x$ 、 $y$ 、および $z$ について媒介変数方程式を解きます。

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ステップ 6.1

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.1.1

括弧を削除します。

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

ステップ 6.1.2

$0 + 1 \cdot (- 1)$ を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x = 0 - 1$

ステップ 6.1.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6.2

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.2.2

$0 - 1 \cdot - 1$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 0 + 1$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$y = 1$

ステップ 6.3

$z$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.3.1

括弧を削除します。

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

ステップ 6.3.2

$0 + 0 \cdot (- 1)$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$z = 0 + 0$

ステップ 6.3.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$z = 0$

ステップ 6.4

$x$ 、 $y$ 、および $z$ について解いた媒介変数方程式です。

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

ステップ 7

$x$ 、 $y$ 、および $z$ を計算した値を利用すると、交点は $(- 1, 1, 0)$ であることがわかります。

$(- 1, 1, 0)$

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